1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на (-1). То есть ВxА=-(АxВ).
2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя: 
и 
, т.е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.
3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, то есть 
.
4. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов А и В численно равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах А и В, как на сторонах.
Доказательства свойств
1. В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняются при перестановке А и В. Поэтому векторы А*В и В*А имеют одинаковые длины и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А*В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор В*А будет направлен в противоположную сторону.
Заметим ещё, что в случае коллинеарности векторов А и В равенство АxВ=-(ВxА) очевидно, так как тогда АxВ и ВxA – нулевые векторы.
2. Обе формулы доказываются аналогично. Докажем, например, первую из них. Ограничимся случаем 
>0.
Для доказательства равенства векторов (АxВ) и АxВ заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:
.
Направления же векторов (А*В) и А*В совпадают, так как при умножении вектора на положительное число его направление не меняется.
3. Для доказательства заметим сначала, что произведение АxС0, где С0 – единичный вектор, можно построить так (рис. 1).
рис. 1.
Спроектируем вектор А= 
на плоскость, перпендикулярную к С0, и полученную вектор-проекцию 1 повернём в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 900 (если смотреть на плоскость с конца вектора С0).
Полученный вектор 2 и равен А*С0. В самом деле,
1) ОА2=ОА1=Аcos(900-φ)=Asinф, где ф – угол между векторами А и С0;
2) Вектор 2 перпендикулярен к векторам А и С0 представляется совершающимся против часовой стрелки. Итак, 2=А*С0.
Пусть теперь даны единичный вектор С0, перпендикулярная к нему плоскость р и треугольник ОА1В1 (рис. 2.), в котором 1=А, 
=В и 
1=А+В.
рис. 2.
Спроектируем треугольник ОА1В1 на плоскость р и повернём против проекцию ОА2В2 в плоскости р по часовой стрелке на 900.
Получим треугольник ОА3В3, в котором по предыдущему
3=(А+В)*С0, 3=В*С0, 
=В*С0.
Так как 
= 
+ , то (А+В)*С0=А*С0 + В*С0.(1)
Заметив, что С=С*С0, умножим теперь обе части равенства (1) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:
(А+В)*СС
4. Справедливость этого утверждения основана на том, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними, что, в свою очередь, следует непосредственно из определения векторного произведения векторов А и В. (рис. 3,4)
рис. 3
Рис. 4
Смешанное произведение
Сме́шанное произведе́ние 
векторов 
— скалярное произведение вектора 
на векторное произведение векторов 
и 
:
.
Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов.
Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:
т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.
Смешанное произведение в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов 
и :
В частности,
Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами и 
знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
Теорема: векторно-скалярное произведение (АВС)=(А*В)С трёх некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С, как на рёбрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В и С образуют систему, одноимённую с основной