ta 
,
где - средняя квадратичная ошибка тренда;
- расчетное значение yt;
ta -значение t-статистики Стьюдента.
Если t=i+L, то уравнение определит значение доверительного интервала для тренда, продленного на L единиц времени.
Доверительный интервал для прогноза, очевидно, должен учитывать не только неопределенность, связанную с продолжением тренда, но и возможность отклонения от этого тренда.
Обозначим соответствующую среднюю квадратическую ошибку (ошибку прогноза) как sp, тогда доверительный интервал прогноза составит
tasp.
Доверительный интервалы прогноза для линейного тренда.
Для нахождения sp используется формула
sp = sy x 
,
x/p=xL- 
,
где xL – заданное, а - среднее значение независимой переменной;
- сумма квадратов отклонений значений независимой переменной от их средней;
sy-среднее квадратичное отклонение фактических значений y от расчетных.
Воспользуемся этой формулой при определении величины sp для случая, когда тренд характеризуется примой, поскольку в качестве независимой переменной здесь выступает время t, то заменив xL, и 
соответственно на tL, 
и 
, и преобразовав выражение получим следующее:
sp = sy x 
,
где n- число наблюдений;
tL – время для которого делается экстраполяция, т.е. tL=L+n;
-среднее значение ряда, = 
Обозначим корень в выражении через К.
К= 
.
Значение К зависит только от n и L. Поэтому можно составить соответствующие таблицы значений К или К*, где К*=taK.
Теперь введем величину К* в выражение для доверительного интервала, получим:
.
При увеличении продолжительности наблюдения (n) значения К и К* уменьшаются, и наоборот, с ростом величины L они растут.
Метод экспоненциального сглаживания (метод Брауна).
Одним из простейших приемов сглаживания динамического ряда с учетом «устаревания» данных заключается в расчете экспоненциальных средних, которые применяются главным образом в моделях краткосрочного прогнозирования. Автор этого метода М. Д. Браун. Основная идея метода Брауна –использование в качестве прогноза линейной комбинации прошлых и текущих наблюдений. Экспоненциальная средняя имеет вид:
где 
-экспоненциальная средняя (сглаженное значение уровня ряда) на момент t; 
-коэффициент, характеризующий вес текущего наблюдения при расчете экспоненциальной средней (параметр сглаживания) причем 
. Соответственно этому выражению средний уровень ряда на момент t равен линейной комбинации двух величин: фактического уровня для этого же момента и среднего уровня, рассчитанного для предыдущего периода. Таким образом средняя формируется под влиянием всех предшествующих уровней ряда от его начала и до момента t включительно. Следовательно, средняя для момента t представляет собой линейную комбинацию значений всех наблюдений от (y1) до yt. В самом деле, формула является рекуррентной. Последовательно раскрывая величину 
получим:
= 
здесь 
-является величиной, характеризующей некоторые начальные условия суммирования все члены ряда, содержащие в качестве множителя коэффициент (a), получили:
,
где j означает число периодов отставания от текущего момента t. Выражения объясняют почему средняя 
названа экспоненциальной. Относительный вес отдельного наблюдения, равный 
убывает по мере удаления наблюдения в прошлое соответственно экспоненциальной функции. Иначе говоря, рассматриваемая средняя имеет экспоненциально распределенные веса. Так если 
то веса придаваемые данным составят: 0,1-для текущего наблюдения, 0,1(1-0,1) = 0,09 для предыдущего и т.д.
При достаточно большом удалении в прошлое от момента t, вес будет настолько мал,. Сто уровень ряда, соответствующий этому весу практически не окажет влияние на значение 
.
Таким образом, экспоненциальная средняя обладает одним ценным для прогнозирования свойством. Она легко адаптируется к новым условиям (при движении во времени). Это видно из следующей формы ее записи: 
.
В этом виде она выступает как некоторое обобщение адаптивной скользящей средней.
В расчетах экспоненциальных средних задачу выбора параметра 
определяющее начальное условие предлагается решать таким образом:
1) если есть данные о развитии явления в прошлом, то в качестве используют среднюю арифметическую всех уровней ряда динамики или какой-то его части:
.
2) если таких сведений нет, то в качестве 
используется исходное или первое значение уровня ряда динамики 
:
.
Следует однако отметить, что влияние будет значительным для тех значений экспоненциальной средней, которые располагаются в начале ряда. Это метод дает хорошие результаты тогда, когда ряд имеет достаточно большое число уровней.
Можно сказать, что математическое ожидание 
и 
совпадают, т.е. 
. Кроме того, известно, что дисперсия экспоненциальных средних меньше, чем дисперсия исходных наблюдений:
, где 
-дисперсия значений 
. При высоком значении a дисперсия экспоненциальных средних значительно отличается от дисперсии наблюдений. Чем меньше a, тем больше этот коэффициент играет роль «фильтра», поглощающего колебания. a принимает значение в диапазоне (0;1). Однако эксперименты показывают, что для большинства потоков данных практически диапазон значений a ограничивается величинами 0,1 и 0,3 в большом числе случаев хорошие результаты дает a=0,1
При выборе a необходимо учитывать, что для повышения скорости реакции на изменение процесса развития необходимо повышать значение a (увеличивать вес текущих наблюдений), при этом уменьшаются их «фильтрационные» возможности экспоненциальной средней.
Формулы, приведенные выше, определяют экспоненциальные средние первого порядка, т.е. средние, получаемые непосредственно при сглаживании данных наблюдения.
Иногда, при разработке статистических моделей полезно прибегнуть к расчету экспоненциальных средних более высоких порядков, т.е. средних, полученных путем многократного экспоненциального сглаживания. Общая запись экспоненциальной средней порядка k имеет вид:
.
Эту формулу можно преобразовать в следующую:
.
На основе этой формулы для экспоненциальной средней первого, второго и третьего порядка получены выражения:
.
.
.
Модели экспоненциального сглаживания могут широко применяться при решении задач прогностического анализа экономических данных