Контрольные вопросы к экзамену по дисциплине Алгебра и геометрия
1. Свободные векторы. Операции над векторами.
2. Базис арифметического пространства. Доказать, что в любых двух базисах одинаковое число векторов.
3. Геометрическая интерпретация пространств R, R 
, R 
. Коллинеарные и компланарные векторы. Связь этих понятий с линейной зависимостью системы из двух и трех векторов.
4. Системы координат в пространствах над полем действительных чисел, их ориентация.
5. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.
6. Векторное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.
7. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, нахождение в ортонормированном базисе.
8. Прямая линия на плоскости. Способы задания прямой на плоскости.
9. Полярная система координат. Прямая линия в полярной системе координат.
10. Расстояние от точки до прямой на плоскости. Геометрический смысл знака трехчлена Ax 
+By 
+C.
11. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми на плоскости.
12. Плоскость в трехмерном пространстве, способы ее задания. Вектор нормали плоскости.
13. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости.
14. Прямая линия в трехмерном пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
15. Угол между прямой и плоскостью. Угол между двумя прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.
16. Кривые второго порядка. Эллипс: определение, вывод уравнения, исследование формы. Эксцентриситет и директрисы эллипса.
17. Гипербола: определение, вывод уравнения, исследование формы. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.
18. Парабола: определение, вывод уравнения, исследование формы.
19. Дайте определение векторного пространства. Приведите примеры векторных пространств, сформулируйте и докажите свойства векторных пространств.
20. Линейная зависимость векторов, свойства линейной зависимости. Размерность векторного пространства: определение, примеры.
21. Базис конечномерного пространства. Теоремы о связи размерности пространства и количества векторов в базисе. Возможность дополнения линейно независимой системы векторов до базиса пространства.
22. Координаты вектора. Утверждение об единственности координатной строки. Матрица перехода от одного базиса к другому.
23. Связь между координатами одного и того же вектора в разных базисах. Доказать, что матрицы перехода от одного базиса к другому и обратно невырожденные и взаимно обратные.
24. Подпространства векторного пространства: определение, примеры. Критерий подпространства.
25. Линейная оболочка системы векторов. Нахождение базиса линейной оболочки.
26. Пересечение и сумма подпространств. Докажите, что пересечение и сумма подпространств векторного пространства являются подпространствами этого пространства. Сформулируйте теорему о размерности суммы подпространств.
27. Определение, примеры, свойства линейных отображений.
28. Матрица линейного отображения. Связь между координатами образа и прообраза вектора.
29. Ядро и дефект линейного отображения. Докажите, что ядро является подпространством соответствующего пространства. Укажите способ нахождения ядра линейного отображения с помощью матрицы линейного отображения.
30. Образ и ранг линейного отображения. Докажите, что образ является подпространством соответствующего пространства. Укажите способ нахождения образа линейного отображения с помощью матрицы линейного отображения. Сформулируйте теорему о связи ранга, дефекта и размерности пространства.
31. Инвариантные подпространства. Собственные векторы линейного оператора. Алгоритм нахождения собственных векторов.
32. Критерии и алгоритм приведения матрицы линейного оператора к диагональному виду.
33. Евклидовы пространства. Свойства скалярного произведения.
34. Ортогональные системы векторов. Доказать линейную независимость ортогональной системы ненулевых векторов.