Задания для самостоятельной работы. 2.2. Зная, что изменение объёма производства с изменением производительности труда

2.1. Издержки перевозки двумя видами транспорта выражаются уравнениями: и , где - расстояния в сотнях километров, - транспортные расходы. Начиная с какого расстояния более экономичен второй вид транспорта?

2.2. Зная, что изменение объёма производства с изменением производительности труда происходит по прямой линии, составить её уравнение, если при =3 =185, а при =5 =305. Определить объём производства при =20.

2.3. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс.руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9%. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.

2.4. Зависимость уровня потребления некоторого вида товаров от уровня дохода семьи выражается формулой: . Найти уровень потребления товаров при уровне дохода семьи 158 ден.ед. Известно, что при =50 =0; =74 =0,8; =326 =2,3.

2.5. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.; б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10 000 руб.

Указание. Размер вклада через t лет определяется по формуле , где p-процентная ставка за год, Q₀ –первоначальный вклад.

2.6. Затраты на производство продукции (тыс.руб.) выражаются уравнением , где -количество месяцев. Доход от реализации продукции выражается уравнением . Начиная с какого месяца производство будет рентабельным?

2.7. Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд.руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд.руб.

Практическое занятие.

Тема. Предельный анализ экономических процессов.

Цель. Рассмотреть применение математических методов для нахождения предельных величин в оптимизационных задачах.

1.Справочный материал.

Функция издержек С(х) определяет затраты, необходимые для производства x единиц данного продукта. Прибыль , где D(x) - доход от производства x единиц продукта.

Средние издержки A(x) при производстве x единиц продукта есть .Предельные издержки .

Оптимальным значением выпуска для производителя является то значение x единиц продукта, при котором прибыль P(x) оказывается наибольшей.

Задача 1. Функция издержек имеет вид . На начальном этапе фирма организует производство так, чтобы минимизировать средние издержки A(x). В дальнейшем на товар устанавливается цена, равная 4 усл.ед. за единицу. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск?

Решение. Средние издержки принимают минимальное значение при x =10. Предельные издержки . При установившейся цене оптимальное значение P(x) выпуска задаётся условием максимизации прибыли: , т.е. 4= M(x), откуда . Таким образом, производство следует увеличить на 10 единиц.

Задача 2. Определить оптимальное для производителя значение выпуска x₀, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p = 14, если известен вид функции издержек .

Решение. По формуле прибыли получаем, .

Находим производную прибыли по объёму: , тогда х_опт= 2.

Задача 3. Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу р =10,5 и функция издержек имеет вид .

Решение. Находим значение прибыли .

Производная прибыли по объёму имеет вид: . Тогда , . .

2. Задания для самостоятельной работы.

2.1 Определить оптимальное для производителя значение выпуска x₀, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =8 и известен вид функции издержек .

2.2 Найти максимальную прибыль, которую может получить фирма-производитель, при условии, что весь товар реализуется по фиксированной цене за единицу p =40 и известен вид функции издержек .

2.3 При производстве монополией x единиц товара за единицу . Определить оптимальное для монополии значение выпуска x₀ (предполагается что весь произведённый товар реализуется), если издержки имеют вид .

2.4 Функция издержек имеет вид . Доход от реализации единицы продукции равен 50. Найти максимальное значение прибыли, которое может получить производитель.

2.5 На начальном этапе производства фирма минимизирует средние издержки, причём функция издержек имеет вид . В дальнейшем цена на единицу товара устанавливается равной р =37. На сколько единиц товара фирме следует увеличить выпуск? На сколько при этом изменятся средние издержки?

Задания для контрольной работы.

Задача 1.

Даны зависимости спроса D(p) и предложения S(p) от цены.

Найдите: 1) равновесную цену и выручку при равновесной цене;

2) цену, при которой выручка максимальна и саму эту

максимальную выручку.

Построить график зависимостей.

Задача 2.

Рассматривается рынок с тремя участниками, у каждого из которых одна и та же функция полезности . Пусть начальное имущество 1-го, 2-го и 3-го участников заданы векторами, а цены на рынке таковы р=1, р=2, р=3.

Проверить: 1) равновесно ли положение;

2) выполняется ли закон Вальраса об избыточном спросе:

P^.I(p)=0

Задача 3.

Пусть модель Леонтьева задана матрицей А.

Найти объем производства, обеспечивающий вектор потребления У.

№ варианта	1 задание	2 задание	3 задание
	D=1000-10p S=100+10p	(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
	D=800-10p S=200+10p	(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
	D=1000-20p S=70+10p	(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
	D=400-20p S=70+10p	(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
	D=600-8p S=120+8p	(5,2,3), (2,5,4,), (5,4,5)
	D=400-5p S=100+5p	(6,2,3), (2,3,6), (3,6,5)
	D=500-5p S=50+5p	(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)
	D=200-10p S=35+5p	(4,2,3), (5,3,4), (6,4,2)
	D=500-10p S=50+5p	(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)
	D=300-4p S=60+4p	(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
	D=600-8p S=120+8p	(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
	D=400-5p S=100+5p	(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
	D=1000-10p S=100+10p	(2,4,3), (2,3,4), (4,4,5)
	D=1000-20p S=70+10p	(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)
	D=800-10p S=200+10p	(4,2,3), (2,5,4), (3,4,7)
	D=400-20p S=70+10p	(4,2,3), (4,3,4), (4,4,5)
	D=500-5p S=50+5p	(3,2,3), (4,3,4), (3,5,2)
	D=200-10p S=35+5p	(3,2,3), (2,4,6), (6,4,6)
	D=300-4p S=60+4p	(2,2,3), (2,4,5), (6,6,6)