Лекция 1. Определители.
Решение определителей 2-го, 3-го и n-го порядков
Определение1. Квадратная матрица, составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел, называется квадратной матрицей 2-го порядка и обозначается:
Определение2. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице А (или просто - определителем матрицы А), называется число
Определение3. Если 
- квадратичная матрица 3-го порядка, то соответствующим ее определителем 3-го порядка называется число
(1)
Этот метод вычисления определителей называется «методом треугольника».
Свойства определителей
Будем излагать свойства определителей на примере определителей третьего порядка, хотя все эти свойства справедливы для определителей любого порядка.
1. Если переставить два параллельных ряда, то есть две строки или два столбца, то определитель умножится на -1.
Доказательство: по формуле (1).
2. Если определитель имеет два одинаковых ряда, то он равен нулю
.
3. При транспортировании (перестановке строк и столбцов) значение определителя не меняется
4. Общий множитель, содержащийся во всех элементах одного ряда можно вынести за знак определителя.
.
5. Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю
.
Для доказательства достаточно в свойстве (4) положить 
.
Определение 4. Минором некоторого элемента 
определителя 
-го порядка называется определитель 
-го порядка, который получается из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент.
Обозначается 
, где 
- номер строки, 
- номер столбца.
для 
: 
Определение 5. Алгебраическое дополнение – это минор, умноженный на
Если сумма индексов четная, то знак 
совпадает с 
.
Если сумма индексов – число нечетное, то 
будет иметь противоположный знак с 
.
Знаки алгебраических дополнений определителя 3-го порядка: 
Пример 1. Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы.
Решение: 
6. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения.
. (2)
Доказательство: по формуле 2.
.
7. Если все элементы какого-либо ряда, представлены в виде суммы двух слагаемых, то весь определитель можно представить в виде суммы двух определителей по формуле.
Доказательство:
8. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число.
Доказательство:
Основные методы вычисления определителей n-го порядка
1. Метод понижения порядка определителя основан на следующем: используя основные свойства определителя, обратив в нуль все, кроме одного, элементы его некоторой строки (столбца).
Пример 2. Вычислить определитель:
Решение: Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью. Полученный определитель разложим по первому столбцу.
Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме элемента в левом верхнем углу, а затем вычисляем определитель второго порядка:
2. Метод приведения к треугольному виду заключается в том преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.
Пример 3. Вычислить определитель.
Решение: Вычитая первую строку из всех остальных, получаем
