Введение
Минимальным остовным деревом (МОД) связного взвешенного графа называется его связный подграф, состоящий из всех вершин исходного дерева и некоторых его ребер, причем сумма весов ребер максимально возможная. Если исходный граф несвязен, то описываемую ниже процедуру можно применять поочередно к каждой его компоненте связности, получая тем самым минимальные остовные деревья для этих компонент.
Задача о нахождении минимального остовного дерева часто встречается в подобной постановке: есть n городов, через которые можно проложить маршрут так, чтобы можно было добраться из любого города в любой другой (напрямую или через другие города). Требуется найти такой маршрут, чтобы стоимость проезда была максимальной.
Эта задача может быть сформулирована в терминах теории графов как задача о нахождении минимального остовного дерева в графе, вершины которого представляют города, рёбра - это пары городов, между которыми есть маршрут, а вес ребра равен стоимости проезда по соответствующему маршруту.
Существует несколько алгоритмов для нахождения минимального остовного дерева. Некоторые наиболее известные из них перечислены ниже:
· Алгоритм Прима;
· Алгоритм Краскала;
· Алгоритм Борувки.
Постановка задачи
Пусть имеется связный неориентированный граф G, на ребрах которого задана весовая функция c (e). Связный подграф графа G, являющийся деревом и содержащий все его вершины, называют покрывающим деревом (spanning-tree) этого графа (иногда используют термин остовное дерево или остов). Весом остовного дерева будем считать сумму весов всех его ребер. Тогда возникает задача о нахождении максимального покрывающего дерева, т.е. такого, что его вес наибольший, либо равен весу любого из покрывающих деревьев для данного графа. Будем обозначать наибольшее покрывающее дерево графа G как MAX (G).
Методы решения данной проблемы
Остовным деревом графа называется дерево, содержащее все вершмины V графа. Стоимость остовного дерева вычисляется как сумма стоимостей всех ребер.
Идея решения:
Для остовного дерева верно следующее свойство:
Пусть G= (V,E) - свызный граф с заданной функцией стоимости, определенной на множестве ребер. Обозначим через U подмножество множества вершин V. Если (u,v) - такое ребро наибольшей стоимости, что u из U и v из V\U, тогда для графа G существует остовное дерево максимальной стоимости, содержащее ребро (u,v)
На этом свойстве основан алгоритм Прима. В этом алгоритме строится множество вершин U, из которого "вырастает" остовное дерево. Пусть V={1,2,. n}. Сначала U={1}. На каждом шаге алгоритма находится ребро наименьшей стоимости (u,v) такое, что u из U и v из V\U, затем вершина v переносится из множества V\U в множество U. Процесс продолжается до тех пор, пока множество U не станет равным множеству V.
Детали реализации:
Удобно выбрать представление в виде списка дуг.
Допустим, необходимо проложить кабель по территории университета, связав все его здания, так, чтобы из каждого здания кабель по какому-либо пути доходил до любого другого здания. Кроме того, предположим, что надо минимизировать общую длину прокладываемого кабеля. Если рассматривать здания как вершины, а кабели между зданиями как ребра, то эта работа с прокладыванием кабеля превращается в задачу определения каркаса, охватывающего здания территории университета, в котором общая длина проложенного кабеля должна быть минимальной. Такую задачу называют нахождением каркаса минимального веса. В нашей работе длина проложенного кабеля должна быть максимальной.
Определим понятие каркаса более формально. Если дан связный неориентированный граф G= (V, E), то каркас (также называемый остовным или стягивающим деревом) T= (V, E’), где E’ÍE - это связный граф без циклов. Иными словами, каркас неориентированного графа G - это подграф графа G, дерево, содержащее все вершины графа. Понятно, что для того, чтобы T имело тот же набор вершин, что и связный граф G, и чтобы T не имело циклов, оно должно содержать ровно |V|-1 ребро.
Предположим, что для каждого ребра eÎE существует вес w (e), причем такой вес может выражать, например, цену, длину или время, необходимое для прохода по ребру (в нашем примере - длину кабеля между зданиями). Во взвешенном графе вес подграфа - это сумма весов его ребер. Тогда каркас T максимального веса - это каркас G, в котором вес дерева максимален относительно всех остовных деревьев G.
Если граф G несвязный, он не может иметь остовного дерева, но у него есть остовный лес. Также можно изменить алгоритм нахождения остовного дерева максимального веса, чтобы на выходе получать минимальный остовный лес.
остовное дерево алгоритм краскал
В алгоритме Краскала используется жадный подход к решению задачи, т.е. в любой момент выполнения данных алгоритмов существует множество ребер E’, представляющее подмножество некоторого минимального остовного дерева графа G. На каждом шаге алгоритмов из оставшихся ребер выбирается "лучшее" ребро, обладающее определенными свойствами, и добавляется к формируемому каркасу максимального веса. Одним из важных свойств любого ребра, добавляемого к E’, является его безопасность, т.е. то, что обновленное множество ребер E’ будет продолжать представлять подмножество некоторого минимального остовного дерева.