Методика определения g при помощи математического маятника
Наиболее просто у физического маятника измеряется период колебаний и длина (при помощи линейки). Используем это обстоятельство для построения эксперимента и расчетной модели.
Период физического маятника определяется по формуле
(6)
где I – момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку опоры; m – масса маятника, l – расстояние от центра тяжести до точки опоры.
В данной работе предлагается опыт с двумя физическими маятниками: стержнем и диском.
а) Эксперимент со стержнем.
Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему, определяется так:
(7)
где L и m – соответственно длина и масса стержня. Будем полагать, что стержень однородный, тогда пренебрегаем геометрией распределения массы по нему и положим:
(8)
Запишем (6) с учетом (7) и (8):
.
Окончательно имеем
. (9)
Остается выразить g из (9):
, (10)
. (10а)
Выражение (10) дает возможность определить способ вычисления g. Действительно, необходимо знать только Т – период колебаний физического маятника и L – его длину.
Измерим длину маятника линейкой с миллиметровыми делениями. С определением периода возникает некоторая проблема. Если измерять время одного колебания (период), то пострадает точность. Поэтому поступают так. Отводят маятник от положения равновесия на малый угол и с помощью секундомера засекают время, за которое он совершает 20-30 колебаний, затем находят период
, (11)
где n- число колебаний. Рекомендуется проводить эксперимент не менее 5 раз.
б) Эксперимент с диском
В отличие от случая со стержнем, момент инерции диска, относительно оси, проходящей через его край и перпендикулярной к его плоскости, определяется так:
, (12)
где R – радиус диска. Проведя подстановку (12) в (6) и полагая L = R, получим
(13)
Выразим из (13) g, получим
, (14)
. (14а)
Схема определения g аналогична рассмотренной в пункте а), но измеряем уже радиус диска.
в) Эксперимент с математическим маятником
Период колебания математического маятника определяется:
, (15)
где l – длина маятника. Из (15) выразим g, получим:
(16)
Из формулы (16) следует. Что необходимо измерить Т (период колебаний) и l (длину) маятника. Как преодолеть трудности в определении T мы уже знаем. Но здесь так же возникает и проблема с определением l, поскольку определить геометрическое положение центра тяжести шарика сложно.
Эти трудности преодолеем так. Возьмем маятник произвольной длины и, замерив его длину l 1, найдем период его колебаний (T 1). Проведем несколько таких измерений. Вычислим среднее значение периода при длине l1 по формуле
,
где N – число измерений, k – текущее измерение. Уменьшим длину нити до l 2 и, проведя такие же измерения, вычислим среднее значение периода для l 2:
Остается найти g:
. (17)
Методика определения логарифмического декремента затухания
Наблюдая за колебаниями маятника, можно заметить, что они постепенно затухают, уменьшается их амплитуда. Физическая причина этого явления – сопротивление воздуха. Затухающее колебание может быть описано с помощью специальной величины – декремента затухания.
Декремент затухания – есть отношение амплитуд затухающего колебания, отстоящих друг от друга по величине на интервале времени, равном периоду:
, (18)
где n – номер колебания. Обычно пользуются логарифмическим декрементом затухания
. (19)
Амплитуда затухающего колебания будет являться функцией от времени, поэтому
, (20)
где А 0 – амплитуда при t = 0 (начальная амплитуда), b - коэффициент затухания. С учетом этого запишем уравнение колебания
, (21)
где A (t) определяется формулой (20), w - круговая (циклическая) частота 
.
Найдем декремент затухания по определению (18) и с учетом (20):
. (22)
Логарифмический декремент затухания согласно (19) определиться:
. (23)
Адаптируем (22) и (23) к виду, удобному для расчетов. Для этого введем: t – время колебаний, К – отношение амплитуд для времени t = 0 и t = T×n
.
Очевидно, что 
. Получим логарифмический декремент затухания d: 
. Отсюда выразим d:
или
. (24)
Формула (24) позволит построить эксперимент. Для этого, к примеру, отведем маятник от положения равновесия на 100 мм и заметим время t по секундомеру, за которое амплитуда измениться от А 0 = 100 мм до А (t) = 50 мм, параллельно подсчитаем количество колебаний, которое совершит маятник за время t. Найдем отношение:
.
Следовательно наше К = 2 (см. формулу (24)). Теперь, зная К, t, n, вычислим
. (25)
Можно сделать по-другому. Так же найти А 0 и А (t), найти t, а период T вычислить по формуле . Тогда
, (25)
где l – длина маятника.
ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ
Задание 1. Внимательно изучите теоретическую часть руководства.
Задание 2. Определите ускорение свободного падения при помощи физического маятника.
1. Укрепить на штативе стержень. Провести измерения в соответствии с описанной методикой. Результаты оформить в виде таблицы.
2. Укрепить на штативе диск. Провести измерения в соответствии с методикой. Результаты оформить в виде таблицы.
| Опыт 1 | Опыт 2 | ||||||||||||
| № эксп. | t, с | n | T, c | L, м |  , с
| g, м/с2 | № эксп. | t, с | n | T, c | L, м | , с
| g, м/с2 |
Расчет g проводить по формулам 
; 
.
Задание 3. Определите ускорение свободного падения методом математического маятника по методике, предложенной в работе. Результаты оформить в виде таблицы.
| l 1 = | l 2 = | ||||||||||
| № эксп. | t, с | n | T, c | , с
| g, м/с2 | № эксп. | t, с | n | T, c | , с
| g, м/с2 |
Расчеты проводить по формуле (17).
Задание 4. Определить логарифмический декремент затухания математического маятника в соответствии с описанной методикой. Результаты оформить в виде таблицы произвольного типа.
Задание 5. Провести оценку погрешности.
ВОПРОСЫК ОТЧЕТУ
- Сформулировать закон всемирного тяготения. Пояснить физический смысл гравитационной постоянной G.
- Почему ускорение свободного падения зависит от географической широты?
- Дать определение всех характеристик колебания.
- Дать обоснование методов по определению g.
- Вывести формулу
. - Вывести формулы (10а) и (14а).
ЛИТЕРАТУРА
- Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики.
- Савельев И.С. Курс общей физики. Т.1, гл. 6, §§ 46,47, 66, 67, 73.
- Архангельский М.М. Механика. Гл.5, §§ 1,3; гл. 14, §§ 1,3; гл. 15, § 3.