Теория функций комплексного переменного.

Действия с комплексными числами.

Вспомнить из основных действий с комплексными числами:

мнимая единица. . Комплексное число , где - действительная и мнимая части Re(z), Im(z).

Замечание. В 4-мерном пространстве существует система кватернионов, обобщающая клмплексные числа, они строятся похожим образом: , затем обозначается , и получаем . Обобщение в 3-мерном пространстве невозможно, т.к. в таком случае всегда получится система с делителями нуля, то есть , где .

 

Сопряжённое число , если .

При этом .

Выражение называется тригонометрической формой комплексного числа, - его аргументом, - модулем.

.

Это такие же, как в полярных координатах.

Умножение и деление в тригонометрической форме.

=

(умножить их модули и сложить аргументы).

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме: = .

Формула Муавра для возведения в степень:

Корень порядка n вычисляется по такой формуле:

Между прочим, действительную и мнимую часть для числа можно выразить через . Докажем такие формулы:

,

Доказательство (ДОК 5).

Сложим и .

= , тогда .

Вычтем и .

= , тогда .

 

Формула Эйлера .

Доказательство (ДОК 6).

Обобщение любой функции на случай комплексного переменного можно проводить с помощью рядов. Поскольку существует любая степень мнимой единицы , например , , , и т.д. то этот подход возможен. Вспомним разложение экспоненты по формуле Тейлора.

Тогда вычислим =

теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .

но ведь в 1 и 2 скобках стоят разложения и . Итак, , что и требовалось доказать.

Теперь для любого числа можно вычислить :

= = = = .

Для сопряжённого числа можно вычислить аналогично:

= = = = .

(здесь воспользовались чётностью cos и нечётностью sin).

Получается, сопряжение под знаком экспоненты приводит

Функции комплексного переменного.

Только что мы рассмотрели функцию = .

Обобщим на комплексную плоскость синус и косинус.

Верны такие формулы: , .

Доказательство (ДОК 7).

Рассмотрим для действительного числа и покажем, что данные функции, а именно и , приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус. Используя формулу Эйлера,

1) = = =

2) = = =

 

Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости.

Пример. .

Вычислим: = = .

 

Логарифм комплексного числа.

Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:

.

Доказательство (ДОК 8).

,

это означает так как синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного . Это равенство уже очевидно, так как это и есть тригонометрическая форма комплексного числа.

Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.

Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует .

Пример. Вычислить .

Здесь , . Поэтому = .

Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее.

Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:

 

 

ЛЕКЦИЯ 3. 16.09.2019

Для всякой функции можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде

. Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.

 

Пример. Разложить на действительную и мнимую часть, изобразить искажения плоскости при переходе .

1) = = = .

Таким образом, , .

Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом изменяется от до , пусть движение задано с помощью параметра :

.

Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости .

Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой:

. Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше.

На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы:

Пример. Разложить на действительную и мнимую часть.

Используем то, что нашли ранее: , тогда

= = .

Здесь

Пример. Разложить на действительную и мнимую часть.

По формуле Эйлера: = = = = , тогда , .

 

Изучим деформации плоскости при действии линейной функции вида , где коэффициенты , это тоже некоторые комплексные числа. При этом очевидно, что приводит к сдвигу плоскости на вектор , поэтому сначала более подробно изучим именно без сдвига.

= . Но такое отображение можно представить с помощью линейного оператора:

= .

Введём величину , тогда существует какой-то угол , для которого , . Причём заметим, что это именно , для исходного комплексного числа.

Тогда матрица линейного оператора имеет вид: то есть это композиция растяжения и поворота плоскости, причём поворот на угол , а растяжение или сжатие на .

(ДОК 9). Доказать что линейное отображение в комплексной плоскости есть композиция растяжения, поворота и сдвига.

На этом чертеже показано, как изменяется плоскость при линейном отображении. Красным веделено горизонтальное направление, после отображения оно повёрнуто.

Замечание. Отображение соответствует зеркальному отражению плоскости, т.е. оно не сводится к композиции поворота и растяжения.