Дифференцирование комплексных функций

Функция фактически задаёт отображение плоскости в плоскости, то есть пара действительных чисел отображается в пару чисел . Для двух функций и существуют 4 частных производных: .

Определение производной. Производной функции в точке называется следующий предел: .

Также можно кратко записать в виде .

Заметим, что все величины в этой дроби, существуют и вычислимы, ведь здесь частное от разностей комплексных чисел.

Определение дифференцируемости. Функция называется дифференцируемой в точке , если приращение функции можно представить в виде: , где некоторое комплексное число, - бесконечно малая более высокого порядка, чем .

Заметим, что если функция дифференцируема, то , но тогда т.е. тогда , т.е. константа .

Геометрический смысл производной. Так как с точностью до бесконечно-малой, можно представить , а это линейное отображение, изученное в конце прошлой лекции, то в малой окрестности отображение представимо в виде растяжения и поворота, где это угол поворота, а - коэффициент растяжения.

Изучим взаимосвязь дифференцируемости с дифференцируемостью координатных функций и .

Теорема 1. Функция дифференцируема и дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана:

и .

Доказательство (ДОК 10). Запишем подробнее равенство . .

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, в которых есть и в которых нет мнимой единицы.

Получается такая система из двух равенств:

Если в 1-м уравнении рассмотреть приращение только по оси , тогда , то

= , так как бесконечно малая более высокого порядка, так что при делении на величину первого порядка предел равен 0. Итак, .

Если теперь во 2-м уравнении рассмотреть приращение только по оси , то аналогично получится = , т.е. . Итак, .

По аналогии с этими рассуждениями, если в 1-м равенстве вычислять предел при сдвиге только по оси , а во 2-м по , получим

, , откуда второе условие Коши-Римана .

А для доказательства достаточности, можно наоборот, сложить два равенства:

умножив при этом второе на . Если выполнены условия Коши-Римана, то 4 коэффициента при этом не являются 4-мя разными числами, а попарно совпадают, то мы как раз и получим:

□

Вывод. Итак, и должны быть взаимосвязаны, т.е. если мы произвольно зададим две какие-то функции , и составим из них , то не всегда получим какую-то дифференцируемую комплексную функцию.

Пример. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функции .

= = = .

, .

, они равны (1-е условие Коши-Римана).

, они противоположны (а это и есть

2-е условие Коши-Римана).

А сейчас мы рассмотрим функцию, для которой не выполнены условия Коши-Римана.

Пример. . Тогда , . Не выполняется 1-е условие: , , они не равны ни в одной точке.

Геометрически это означает, что зеркальное отражение плоскости невозможно представить в виде композиции растяжения и поворота, то есть невозможно равенство из условия дифференцируемости .

Теорема 2. дифференцируемая функция векторные поля

и являются потенциальными.

Доказательство (ДОК 11). Вспомним условие потенциальности поля , а именно, . Для векторного поля в таком случае, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно первому условию Коши-Римана .

Для векторного поля соответственно, , , и тогда условие потенциальности эквивалентно второму условию Коши-Римана: .

Определение. Если функция дифференцируема и в самой точке , и во всех точках некоторой её окрестности, то она называется аналитической в точке .

Пример. Для функции условия Коши-Римана выполняются независимо от точки, то есть во всех точках плоскости, тогда для каждой точки они автоматически выполнены и во всей её окрестности. Таким образом, аналитическая во всех точках комплексной плоскости.

Различие понятий аналитичности и дифференцируемости видно на другом примере.

Пример. . Распишем её через .

= = . Здесь , .

, .

1-е условие Коши-Римана выполняется только при

, .

2-е условие Коши-Римана выполняется только при .

Таким образом, единственная точка в плоскости, где выполнены условия Коши-Римана, это (0,0). Но ни в одной точке из её окрестности они не выполняются, а только в одной изолированной точке . То есть, в начале координат функция дифференцируемая, но не аналитическая.

Теорема 3. Если функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из её частей (действительной и мнимой) в этой области выполняется уравнение Лапласа: