Пусть точки 
являются концами линии 
, а сама она задана функцией одной переменной 
. Тогда криволинейный интеграл первого рода можно свести к обычному определённому интегралу по следующей формуле:
Знак модуля обусловлен природой рассматриваемого интеграла: поскольку дифференциал 
не может быть отрицательным (это же элемент длины), то при переходе к определённому интегралу нужно соблюсти статус-кво. В случае «арабского» интегрирования справа налево (когда 
) значения «икс» убывают и поэтому 
– в результате чего появляется побочный минус, подлежащий немедленной ликвидации. Общую формулу можно расписать подробно:
, если 
(стандартный случай) или:
, если .
В частности, при 
получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой 
. Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:)
Пример 1
Вычислить интеграл 
от точки 
до точки 
, если кривая задана уравнением 
Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка 
, то речь идёт о её верхней ветке: 
.
Желающие могут выполнить чертёж. Кстати, вне зависимости от его простоты, иногда это бывает обязательным требованием условия.
В данной задаче имеет место наиболее распространённый случай , а значит, нужно использовать формулу .
Сначала удобно найти производную и упростить корень:
Так как 
и , то 
– грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».
Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:
Здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:
Ответ: 
Если вычислить тот же самый интеграл от точки до точки , то результат не изменится. В этом случае «икс» будет убывать от 1 до 0, следовательно, дифференциал 
станет отрицательным и при переходе к определённому интегралу потребуется добавить знак «минус»:
Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования: 
В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл вдоль дуги параболы , расположенной между точками 
. Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом, а какая – концом кривой.
Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант 
):
, где 
– обратная функция, выражающая линию . В нашей задаче:
При переходе от 
к 
мы должны избавиться от всех «иксов», однако функция от них не зависит, а значит, делать ничего не нужно.
И, учитывая, что для «игрековых» координат точек 
справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата:
В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости 
между точками 
и находится кусок параболы 
, через который проходит «одноимённый» параболический цилиндр , «высекающий» из плоскости пространственную «ниточку». Криволинейный интеграл численно равен площади 
фрагмента параболического цилиндра, который расположен между куском параболы и этой «ниткой».
Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей частью лежит ниже плоскости . Не удивляйтесь и нулю (в каких случаях?). То есть, «всё как у нормальных интегралов».
Замысловатый пример для самостоятельного решения:
Пример 2
Вычислить площадь фрагмента цилиндрической поверхности 
во 2-м и 6-м октантах 
, который высечен плоскостью 
и гиперболическим параболоидом 
.
Ситуацию крайне важно представить геометрически – надеюсь, на данный момент все знают, как выглядит круговой цилиндр ; картинку же последней поверхности можно найти в начале урока об экстремумах функций двух и трёх переменных (3-й чертёж). Также будет полезно изобразить на плоскости кривую интегрирования.
Краткое решение с комментариями в конце урока – тот, кто правильно во всём разберётся, может считать себя «самоваром» интегралов =)
Довольно часто линия бывает задана параметрическими уравнениями 
, и в этом случае нужно использовать следующую формулу:
– если значение параметра возрастает 
. И для убывающего параметра 
:
В частности, при получается опять же знакомая формула длины параметрически заданной кривой:
Пример 3
Вычислить криволинейный интеграл 
по дуге окружности 
при изменении параметра 
.
Параметрические уравнения эллипса и окружности я разбирал в тематической статье о площади и объёме, и поэтому если вам не понятен их смысл (или вообще смысл параметрического задания функции), то милости прошу по ссылке.
Решение: указанным пределам изменения параметра соответствует левая верхняя дуга единичной окружности:
По условию, значение параметра возрастает, поэтому:
Нет, конечно, можно интегрировать и от 
до 
с добавочным минусом, но зачем?
Как и в предыдущих примерах, сначала удобно найти производные и причесать корень:
…мда, тут вообще стрижка наголо получилась =)
Итак:
Ответ: 
Два последних примера похожи, как близкие родственники, однако между ними есть существенное различие: в Примере 2 требовалось найти площадь, и поэтому было принципиально важно проанализировать положение поверхности относительно плоскости . В третьем же примере нужно было вычислить интеграл формально. Как видите, различие здесь точно такое же, как и между вычислением площади с помощью определённого интеграла и «просто» вычислением определённого интеграла.
И, разумеется, криволинейные интегралы обладают всеми типичными свойствами «клана интегралов», в частности, для них справедливо свойство линейности:
а также свойство аддитивности: если на линии 
выбрать промежуточную точку 
, то интеграл можно разделить на две части:
Или вот такой – более практически важный пример, …сейчас что-нибудь придумаю, чтобы легко было нарисовать в уме,… предположим, нам нужно вычислить криволинейный интеграл по ломаной 
:
, где 
.
Да без проблем – представим его в виде суммы двух интегралов по отрезкам 
:
– и вперёд с песнями.
И на всякий пожарный формула для кривой, заданной уравнением 
в полярных координатах:
Кроме того, у криволинейного интеграла 1-го рода существуют физические приложения, в частности, с помощью него можно вычислить массу плоской дуги 
, если – функция её плотности.