Как вычислить криволинейный интеграл 1-го рода?

Пусть точки являются концами линии , а сама она задана функцией одной переменной . Тогда криволинейный интеграл первого рода можно свести к обычному определённому интегралу по следующей формуле:

Знак модуля обусловлен природой рассматриваемого интеграла: поскольку дифференциал не может быть отрицательным (это же элемент длины), то при переходе к определённому интегралу нужно соблюсти статус-кво. В случае «арабского» интегрирования справа налево (когда ) значения «икс» убывают и поэтому – в результате чего появляется побочный минус, подлежащий немедленной ликвидации. Общую формулу можно расписать подробно:
, если (стандартный случай) или:
, если .

В частности, при получается хорошо знакомая формула длины дуги кривой . Вот так-то оно бывает – оказывается, криволинейные интегралы мы уже решали! И теперь вам совсем не нужно решимости:)

Пример 1

Вычислить интеграл от точки до точки , если кривая задана уравнением

Решение: перед нами каноническое уравнение параболы, и коль скоро в условии дана точка , то речь идёт о её верхней ветке: .

Желающие могут выполнить чертёж. Кстати, вне зависимости от его простоты, иногда это бывает обязательным требованием условия.

В данной задаче имеет место наиболее распространённый случай , а значит, нужно использовать формулу .

Сначала удобно найти производную и упростить корень:

Так как и , то – грубо говоря, на данном шаге мы избавляемся от «игреков».

Предварительная подготовка завершена, пользуемся формулой:

Здесь можно провести замену переменной, но гораздо сподручнее подвести подкоренное выражение под знак дифференциала и обойтись без перехода к новым пределам интегрирования:

Ответ:

Если вычислить тот же самый интеграл от точки до точки , то результат не изменится. В этом случае «икс» будет убывать от 1 до 0, следовательно, дифференциал станет отрицательным и при переходе к определённому интегралу потребуется добавить знак «минус»:

Таким образом, криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления интегрирования:

В этой связи типовая задача, как правило, формулируется «нейтрально»: вычислить интеграл вдоль дуги параболы , расположенной между точками . Иными словами, совершенно не важно, какая из точек является началом, а какая – концом кривой.

Следует отметить, что криволинейный интеграл можно вычислить и другим способом. Поскольку буква «игрек» ничем не хуже «икса», то для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода справедлива «зеркальная» формула (тривиальный вариант ):
, где – обратная функция, выражающая линию . В нашей задаче:

При переходе от к мы должны избавиться от всех «иксов», однако функция от них не зависит, а значит, делать ничего не нужно.

И, учитывая, что для «игрековых» координат точек справедливо неравенство , доводим решение до того же самого результата:

В чём состоит геометрический смысл разобранной задачи? На плоскости между точками и находится кусок параболы , через который проходит «одноимённый» параболический цилиндр , «высекающий» из плоскости пространственную «ниточку». Криволинейный интеграл численно равен площади фрагмента параболического цилиндра, который расположен между куском параболы и этой «ниткой».

Как я уже отмечал, криволинейный интеграл может получиться отрицательным – это означает, что фрагмент полностью или бОльшей частью лежит ниже плоскости . Не удивляйтесь и нулю (в каких случаях?). То есть, «всё как у нормальных интегралов».

Замысловатый пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить площадь фрагмента цилиндрической поверхности во 2-м и 6-м октантах , который высечен плоскостью и гиперболическим параболоидом .

Ситуацию крайне важно представить геометрически – надеюсь, на данный момент все знают, как выглядит круговой цилиндр ; картинку же последней поверхности можно найти в начале урока об экстремумах функций двух и трёх переменных (3-й чертёж). Также будет полезно изобразить на плоскости кривую интегрирования.

Краткое решение с комментариями в конце урока – тот, кто правильно во всём разберётся, может считать себя «самоваром» интегралов =)

Довольно часто линия бывает задана параметрическими уравнениями , и в этом случае нужно использовать следующую формулу:
– если значение параметра возрастает . И для убывающего параметра :

В частности, при получается опять же знакомая формула длины параметрически заданной кривой:

Пример 3

Вычислить криволинейный интеграл по дуге окружности при изменении параметра .

Параметрические уравнения эллипса и окружности я разбирал в тематической статье о площади и объёме, и поэтому если вам не понятен их смысл (или вообще смысл параметрического задания функции), то милости прошу по ссылке.

Решение: указанным пределам изменения параметра соответствует левая верхняя дуга единичной окружности:

По условию, значение параметра возрастает, поэтому:

Нет, конечно, можно интегрировать и от до с добавочным минусом, но зачем?

Как и в предыдущих примерах, сначала удобно найти производные и причесать корень:

…мда, тут вообще стрижка наголо получилась =)

Итак:

Ответ:

Два последних примера похожи, как близкие родственники, однако между ними есть существенное различие: в Примере 2 требовалось найти площадь, и поэтому было принципиально важно проанализировать положение поверхности относительно плоскости . В третьем же примере нужно было вычислить интеграл формально. Как видите, различие здесь точно такое же, как и между вычислением площади с помощью определённого интеграла и «просто» вычислением определённого интеграла.

И, разумеется, криволинейные интегралы обладают всеми типичными свойствами «клана интегралов», в частности, для них справедливо свойство линейности:

а также свойство аддитивности: если на линии выбрать промежуточную точку , то интеграл можно разделить на две части:

Или вот такой – более практически важный пример, …сейчас что-нибудь придумаю, чтобы легко было нарисовать в уме,… предположим, нам нужно вычислить криволинейный интеграл по ломаной :
, где .

Да без проблем – представим его в виде суммы двух интегралов по отрезкам :
– и вперёд с песнями.

И на всякий пожарный формула для кривой, заданной уравнением в полярных координатах:

Кроме того, у криволинейного интеграла 1-го рода существуют физические приложения, в частности, с помощью него можно вычислить массу плоской дуги , если – функция её плотности.