Криволинейные интегралы. Понятие и примеры решений
Жизнь такова, что из любой новой темы (не обязательно научной) пытливый человеческий ум стремится «выжать» по максимуму – все идеи и все возможности. Появилось понятие вектора, и, пожалуйста – курс аналитической геометрии не заставил себя ждать. А также дифференциальная геометрия, теории поля и прочие гранитные плиты для зубов разной крепости. Пришла наука к понятию производной – …ну, думаю, тут объяснять не нужно! …некоторые до сих пор отойти не могут =)
И интегралы тоже не стали исключением из этого правила. Давайте посмотрим на криволинейную трапецию и вспомним классическую схему интегрального исчисления:
– отрезок 
дробится на части;
– составляется интегральная сумма, которая равна площади ступенчатой фигуры;
– и, наконец, количество отрезков разбиения устремляется к бесконечности – в результате чего эта фигура превращается в криволинейную трапецию площади 
.
Аналогично выводятся формулы объема тела вращения, длины дуги кривой и др.
Более того, наводящие ужас кратные интегралы «устроены» принципиально так же – по существу, они отличается только областью интегрирования: у двойных интегралов – это не отрезок, а плоская фигура, у тройных – пространственное тело.
И, чтобы у вас сразу отлегло от сердца – наши «сегодняшние» криволинейные интегралы далеки от «ужаса», они больше похожи на «обычные» кошмары интегралы. Уже из самого названия нетрудно догадаться, что областью интегрирования таких интегралов являются кривые линии.
На уроке о пределе функции двух переменных я придумал реалистичную модель, которая снискала большую популярность – да такую, что там каждый день собираются целые экскурсии =) Итак, паркет вашей комнаты – это координатная плоскость 
, в углу стоит ось 
, а вверху «зависло» расправленное одеяло, заданное функцией 
.
Возьмите в руки мел и начертите на полу под одеялом произвольную кривую 
. Как вариант, у неё могут быть «острые углы» – такая линия называется кусочно-гладкой. Можно изобразить даже ломаную. ВажнА спрямляемость (см. урок о методах Эйлера ) и непрерывность пути интегрирования. Теперь суть:
Представьте, что от одеяла осталась всего лишь одна нитка – лежащая над кривой . Вертикальная поверхность, расположенная между кривой «эль» и этой «ниткой» представляет собой фрагмент криволинейного цилиндра. Представили? Отлично!
Криволинейный интеграл первого рода
имеет вид 
и по модулю* равен площади 
данного фрагмента.
* Если график целиком или бОльшей частью расположен ниже плоскости , то площадь получится со знаком «минус».
Согласно общему принципу интегрирования, произведение бесконечно малого кусочка 
кривой на соответствующую высоту 
равно бесконечно малому элементу площади данной поверхности: 
. А криволинейный интеграл как раз и объединяет эти элементы 
вдоль всей кривой: 
.
! Важно: во многих источниках информации дифференциал дуги кривой обозначают через 
, что, на мой взгляд, не слишком удачный выбор.
Если на плоскости вместо кривой начертить отрезок прямой, то получится не что иное, как плоская криволинейная трапеция, параллельная оси . Соответствующий интеграл хоть и каламбурно, но с полным правом можно назвать «прямолинейным».
В частности, если подынтегральная функция задаёт плоскость 
, то криволинейный интеграл равен площади «ленты» единичной высоты, а также и длине самой линии интегрирования: 
.
…чего только не придумаешь, чтобы не делать чертежей =)