Лекции 1-2. Матрицы, действия с ними. Определители 2-3 порядков. Их свойства. Разложение определителей по элементам строк и столбцов. Определители n-ого порядка. Системы двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера. Обобщение результатов на системы n-линейных уравнений. Линейные однородные системы и их нетривиальные решения.
ЛИТЕРАТУРА:
Бугров Я.С., Никольский С.М.Высшая математика, Т.1,. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М., Дрофа, 2003. && 1- 4. Л-3, гл.21.
Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.Физматлит, 2002.. Приложение.
И.П. Натансон. Краткий курс высшей математики.,М.,Лань.2005,гл.7.
На этой лекции мы с вами начнем изучение математических объектов, называемых матрицами. Начнем с определения матрицы.
Определение. Матрицей A называется прямоугольная таблица чисел, которую будем представлять в виде.
A= 
.
Элементы, стоящие на одной горизонтали будем называть строками, на одной вертикали столбцами. Если матрица содержит 
строк и 
столбцов, то будем говорить, что матрица имеет размерность 
. Символом 
обозначается элемент, стоящий на пересечении строки с номером i и столбца с номером j. В случае, когда число строк равно числу столбцов (
), матрица называется квадратной.
Например. Пусть имеется матрица
.
Определим размерность данной матрицы. Надеюсь, что это не очень сложно посчитать – данная матрица имеет 4 строки и 5 столбцов. Тогда ее размерность соответственно равна 
. Зададимся вопросом – чему равен, например 
. Нетрудно видеть, что на пересечении второй строки и третьего столбца стоит число 4. Следовательно, =4.
Иногда, когда позволяют обстоятельства, мы будем использовать краткую запись 
, которая подразумевает, что имеется матрица, с элементами , размерность которой нам известна.
Введение в математике некоторых объектов, как правило, влечет за собой введение некоторых математических операций над ними. Но любые математические операции подразумевают, в итоге, знак равенства. Поэтому прежде нужно договориться о том, какие матрицы мы считаем равными.
Определение. Матрица равна матрице 
тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах у них стоят равные элементы, то есть 
.
Например. Ответим на вопрос, какие пары матриц можно считать равными
1. 
2. 
.
3. 
.
В первой паре матрицы имеют разную размерность, поэтому они не равны друг другу.
Во второй паре матрицы имеют одинаковую размерность, но элемент 
, а элемент 
, то есть, не равны друг другу. Следовательно, и эти две матрицы не являются равными.
В третьей паре матрицы являются равными.
Теперь перейдем к математическим операциям.
Сложение матриц.
Операция сложения определена только для матриц одинаковой размерности.
Определение. Пусть даны матрицы и размерности . Их сумма 
, где матрица 
имеет размерность также , а элементы ее 
соответственно равны 
.
(То есть, элементы, стоящие на одинаковых местах просто складываются.)
Нетрудно видеть, что операция сложения матриц обладает свойствами: коммутативности 
;
ассоциативности 
.
Пример. Найти 
, если 
.
Имеем 
Следующая операция, это операция умножения матрицы на действительное число.
Умножение матрицы на действительное число.
Определение. Пусть даны матрица размерности . Произведением матрицы 
на число 
(
) называется матрица 
,, где матрица имеет размерность также , а элементы ее соответственно равны 
.
(То есть, все элементы матрицы умножаются на число ).
Пример. Найти 
, если 
.
Имеем 
.
Не трудно проверить следующие свойства операции умножения на число:
1. 
;
2. 
.
Следующая операция, это произведение матриц.
Произведение матриц.
Произведение матриц АВ=С определено только тогда, когда число столбцов в первом множителе (матрица А) равно числу столбцов во втором множителе (матрица В). Результат произведения (матрица С) имеет столько строк, сколько у первого множителя (матрицы А), число столбцов матрицы С равно числу столбцов у второго множителя (матрицы В). Ниже будет указан способ вычисления элементов матрицы С.
Пусть 
размерности 
, 
- размерности 
. Тогда 
(С=АВ) имеет размерность 
. Элементы матрицы 
вычисляются по формуле 
= 
.
(То есть элементы строки с номером i в первой матрицы умножаются на соответствующие элементы столбца с номером j во второй матрице и полученные произведения складываются.)
Рассмотрим пример.
Найти матрицу С=АВ, если 
, 
.
Поскольку первый множитель имеет две строки, а второй два столбца, то матрица 
имеет размерность 
. 
. Определим элементы матрицы С.
При вычислении 
берем первую строку матрицы А - (2 0 1) и первый столбец матрицы В - 
, почленно перемножаем и складываем =2 
3+0 1+1 5=11.
Аналогично находим:
n 
. Первая строка А - (2 0 1), второй столбец В - 
, тогда 
=2 4+0 0+1 2=10;
n 
. Вторая строка А - (3 2 4), первый столбец В - , тогда 
=3 3+2 1+4 5=31;
n 
. Вторая строка А - (3 2 4), второй столбец В- , тогда 
=3 4+2 0+4 2=20.
Ответ: 
.
Нетрудно показать, что операция произведения матриц удовлетворяет следующим свойствам:
1. 
.
2. 
Отметим, что в общем случае АВ¹ВА.
Например. Дома вычислите самостоятельно 
и 
, если
Введем понятие единичной матрицы. Единичной матрицей называется квадратная матрица Е размерности 
, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные нулю. Например, единичная матрица размерности (3 3) имеет вид 
. Элементы единичной матрицы часто обозначают символом 
, где - символ Кронекера 
.
Отметим, что для любой матрицы А той же размерности имеет место равенство АЕ=ЕА=А.
Введем еще одну операцию – транспонирование матрицы.
Транспонированная матрица.
Определение. Пусть дана матрица размерности
.
Матрицу 
называют транспонированной к матрице 
, если она имеет размерность 
, и при этом 
. То есть, матрица 
получается из матрицы следующим образом – столбцы матрицы становятся строками матрицы , причем номер соответствующего столбца матрицы совпадает с номером соответствующей строки матрицы 
. Транспонированную к матрице 
матрицу будем обозначать символом 
или 
.
Тогда, если
,
то
,
Пример. Найти 
, если 
.
Получаем = 
.
Пример. Найти , если 
.
Получаем = 
.
Далее мы введем еще одно понятие – определитель матрицы.
Понятие определителя имеет смысл только для квадратной матрицы. Определитель - это некоторое число, которое ставится в соответствие квадратной матрице 
. Оно обозначается символом D или 
. Иногда вместо слова определитель употребляется термин детерминант, и определитель матрицы 
обозначается 
. Ниже будет изложено правило его вычисления. Мы используем рекурсивный способ задания метода вычисления определителя. Суть его в следующем. Сначала мы укажем способ вычисления определителя матрицы размерности (
), а далее будет указан метод, который позволяет вычислять определитель матрицы размерности 
, если мы умеем вычислять определитель матрицы размерности 
.
И так начнем.
Для матрицы А размерности А= 
по определению
.
Далее введем еще одно определение.
Минором 
матрицы А называется определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем удаления строки с номером i и столбца с номером j.
Например, для матрицы 
имеем 
.
Алгебраическим дополнением элемента 
называется число, равное значению минора , если i+j четное, и равное значению минора с противоположным знаком (- ) в противном случае. Алгебраическое дополнение будем обозначать символом 
. Таким образом 
.
Например, для матрицы 
имеем 
.