Криволинейные интегралы второго рода




«Реалити-шоу» точно такое же. Отличие будет в способе интегрирования. Если в интеграле мы объединяли бесконечно малые кусочки самой кривой, то сейчас интегрирование пойдёт по проекциям этих кусочков на ось абсцисс:
,
или, как вариант – по их проекциям на ось ординат:
,
и если не параллельна координатным осям, то:
.

В большинстве задач приходится иметь дело с так называемой общей формой криволинейного интеграла от двух функций:

С практической точки зрения будут важнЫте же свойства линейности и аддитивности, а также тот факт, что:

криволинейный интеграл 2-го рода зависит от направления интегрирования, причём:

И в самом деле – здесь же интегрирование осуществляется не по длинам (которые беспрекословно положительны), а по их безразмерным проекциям, которые могут быть и отрицательными.

С чисто формальной точки зрения криволинейный интеграл 2-го рода «опознаётся» по наличию в подынтегральном выражении дифференциалов (намного реже – какого-то одного), и алгоритм его решения гораздо бесхитростнее, нежели «разборки» со «старшим братом»:

Пример 4

Вычислить криволинейный интеграл , где – отрезок прямой от точки до точки . Выполнить чертёж.

Решение: на первом шаге нам нужно найти уравнение прямой, которая содержит отрезок . Составим его по двум точкам:

Несмотря на то, что линия интегрирования весьма простА, по условию требуется выполнить чертёж:

Обязательно указываем направление интегрирования! – здесь оно имеет принципиальное значение. Также обратите внимание на область определения подынтегральных функций – в данном примере , и поэтому линия интегрирования не должна пересекать координатные оси! Иногда авторы задачников и методичек недоглядывают за этим моментом, в результате чего получается невразумительное решение, где ответ, например, может оказаться бесконечным. Нет, конечно, мы вправе рассмотреть и несобственный криволинейный интеграл, но обычно задумка совсем не такая.

Криволинейный интеграл 2-го рода тоже сводится к определённому интегралу с «избавлением» либо от всех «игреков», либо от всех «иксов».

Способ первый, традиционный, где осуществляется переход к интегрированию по переменной . Пределы интегрирования, как нетрудно догадаться, соответствуют «иксовым» координатам точек , при этом не имеет значения, какой из них больше, а какой меньше; НО, принципиально важен порядок – интегрировать нужно строго по заданному направлению: от 1 до 3.

Берём уравнение линии и находим дифференциал:

Подставим и в подынтегральное выражение – всё настолько прозрачно, что я даже формулу записывать не буду:

Ответ:

Если проинтегрировать наоборот – от точки до точки , то получится то же самое, только с другим знаком: – в силу известного свойства определённого интеграла.

Способ второй состоит в переходе к интегрированию по переменной . Для этого из уравнения выразим обратную функцию:

и найдём дифференциал .

Перейдём к определённому интегралу от 1 до 2 («игрековые» координаты точек и ), подставив при этом в подынтегральное выражение и :

Второй способ оказался технически труднее, но, разумеется, бывает и наоборот. Поэтому перед решением всегда полезно «прикинуть» оба пути. И да – проверка же, не ленИтесь!

Но тут есть исключение: если фрагмент или весь путь интегрирования параллелен координатной оси, то способ остаётся только один! Ибо проекция этого участка на другую ось равна нулю.

Ответ:

Для самостоятельного решения я всегда стараюсь подбирать наиболее интересные задачи, которые мои студенты всегда выполняют с большим энтузиазмом иначе ни хрена не сдадут:);-)

Пример 5

Вычислить криволинейный интеграл от точки до точки вдоль ломаной, состоящей из отрезков прямых . Выполнить чертёж.

Краткое решение и ответ в конце урока.

У многих читателей наверняка назрел вопрос: в чём смысл такого интегрирования? У криволинейных интегралов 2-го рода есть каноничный физический смысл (и не только), с которым мы непременно познакомимся на следующем уроке ( Интегрирование по замкнутому контуру и формула Грина ). Всё будет – и примеры, и пояснения, и ссылки. А пока нарабатываем технические навыки.

Пример 6

Вычислить криволинейный интеграл , где – дуга кривой от точки до точки .

Решение: для удобства выполним чертёж, не забывая подметить, что линия интегрирования не может пересекать ось ординат (т.к. ), впрочем, она здесь заведомо не может – ибо логарифм:

И сейчас я вас познакомлю с ещё одним приёмом решения. По причине той же аддитивности, интеграл можно разделить на две части:
– и с каждым из них разделаться по отдельности:

1) Вычислим . Так как , то , изменяется от 1 до :

Надеюсь, на данный момент все читатели понимают, как решать интеграл подведением функции под знак дифференциала. Результат, кстати, не помешает проверить интегрированием по «игрек»:

изменяется от 0 до 1 (см. чертёж):

, что и требовалось проверить. Напоминаю, что второй путь можно смело выбирать и за основной.

Со второй частью всё проще:

2)

Контроль по «игрек»:

Осталось просуммировать полученные значения:

Ответ:

Разделение интеграла особенно удобно в тех случаях, когда подынтегральное выражение сильно «наворочено». Очередная «бомба» для самостоятельного решения:

Пример 7

Проверить, существует ли интеграл по данной кривой, и вычислить его, если это возможно
– по дуге параболы от точки до начала координат.
Выполнить чертёж.

Вспоминаем, как интегрируются дроби. Краткое решение и ответ в конце урока.

И в заключение урока пара ласковых о параметрически заданной кривой:

Пример 8

Вычислить криволинейный интеграл по кривой

Решение: чертежа здесь, благо, чертить не требуется, да он и не нужен – условие таково, что снимай данные, да решай.

Как решать? Объясню буквально в 7 словах:)

– в подынтегральном выражении нужно всё выразить через параметр.

При этом во многих случаях, и в этом в частности, «начинку» удобно обработать отдельно. Сначала разбираемся с дифференциалами:

Теперь без спешки и ВНИМАТЕЛЬНО подставляем их вместе с прародителями в подынтегральное выражение, после чего аккуратно проводим упрощения:

И что приятно, тут не нужно думать над пределами изменения параметра:

Ответ:

Самостоятельно:

Пример 9

Вычислить криволинейный интеграл по верхней половине эллипса . Интегрировать против часовой стрелки.

Статья о площади и объёме для параметрически заданной линии в помощь (Пример 2).

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-06-06 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: