Векторное произведение векторов.

1. Дано: =3, =8. Найти векторное произведение , если угол φ между векторами равен:

1) 0; 2) 30^о; 3) 90^о; 4) 120^о; 5) 150^о.

2. Упростить выражения:

1) ; 2)

1) ; 2)

3. Найти векторное произведение для следующих пар векторов:

1) ; 2) ;

3) ; 2) .

4. Найти вектор , если

1) = 2 ; =3 ; 2) = + ; = − 2 ;

1) =3 + ; = +4 ; 2) = – + + ; = +2 .

Вычислить в каждом случае площадь параллелограмма, построенного на векторах .

5. Вычислить площадь треугольника с вершинами:

1) А (2; 2; 2); В (1; 3; 3); С (3; 4; 2);

2) А (– 3; – 2; – 4); В (– 1; – 4; – 7); С (1; – 2; 2);

6. Найти орт , перпендикулярный векторам:

1) ; 2) ;

7. Дан треугольник с вершинами А (9; – 9; 13); В (7; – 13; 17); С (17; – 3; 17). Найти длину высоты, проведенной из вершины С.

8. Дано: =5, =2, =6. Найти .

9. Дано: =10, =2, =16. Найти .

Смешанное произведение векторов.

1. Найти смешанное произведение векторов , если:

1) =(1; 1; 2); =(1; –2; 3); =(2; 1; 1); 2) =(5;– 2; –1); =(1; –2; 1); =(1; 2; – 2);

3) =(1; 1; 4); =(2; –1; – 1); =(1; 3; –1).

2. Доказать, что векторы компланарны, если:

1) =(1; 1; 3); =(0; 2; – 1); =(1; – 1; 4); 2) =(1; 2; 2); =(2; 5; 7); =(1; 1; –1);

3) =(1; – 1; 2); =(3; 5; 0); =(5; 3; 4).

3. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках

1) А (–1; 1; 0); В (2; – 2; 1); С (3; 1; –1); D (1; 0; –2);

2) А (–4; – 4; – 3); В (– 2; –1; 1); С (2; – 2; –1); D (– 1; 3; –2)

4. Показать, что точки А (3; 5; – 4); В (1; –1; – 3); С (7; 2; –6); D (– 1; 3; –2)

принадлежат одной плоскости.

5. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах =(3; 2; 1); =(1; 0; – 1); =(1; –2; 1);

Линейные пространства.

1. Выяснить, являются ли векторы а ₁, а ₂, а ₃ линейно зависимыми:

1) а ₁= (2; −1; 3), а ₂ = (1; 4; −1), а ₃= (0; −9; 5);

2) а ₁= (1; 2; 0), а ₂ = (3; −1; 1), а ₃= (0; 1; 1).

 

2. Показать, что векторы а ₁= (8; 5; 9; 1), а ₂ = (1; −3; –6; –3), а ₃= (3; –1; 5; 2), а ₄= (0; 2; –1; 4), заданные в базисе е ₁, е ₂, е ₃, сами образуют базис.

 

3. Даны векторы а = е ₁ + е ₂ + е ₃, b =2 е ₂ + 3 е ₃, c = е ₂ + 5 е ₃, где е ₁, е ₂, е ₃ базис линейного пространства. Доказать, что векторы a, b, c образуют базис. Найти координаты вектора d = 2 е ₁ − е ₂ + е ₃ в базисе a, b, c.

 

4. Даны векторы а ₁, а ₂, а ₃, b. Показать, что векторы а ₁, а ₂, а ₃ образуют базис трехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:

1) а ₁= (4; 3; 2), а ₂ = (−3; 2; −1), а ₃ = (2; 3; 1), b =(16; 8; 7);

2) а ₁= (−1; 2; 0), а ₂ = (2; 4; 2), а ₃ = (−3; −1; 3), b =(−8; 0; 4).

 

5. Даны векторы а ₁, а ₂, а ₃, а ₄, b. Показать, что векторы а ₁, а ₂, а ₃, а ₄ образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора b в этом базисе, если:

1) а ₁=(–1; 2; 3; 1), а ₂=(–1; 3;−2; –1), а ₃=(3; 5; 4; 1), а ₄=(3;1;4;–1), b =(0; 3; 5; 4);

2) а ₁=(1; 2; 1; 3), а ₂ =(1;–1;–1;–1), а ₃=(–1; 3; 0;1), а ₄ =(1;– 2; 2;–1), b =(4; 1; 6; 0).

 

 

Индивидуальное задание №2 по теме: « Элементы векторной алгебры »

Задание №1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

1. Записать векторы , , в системе орт , , и найти модули этих векторов;

2. Найти угол между векторами и ;

3. Найти проекцию вектора на вектор ;

4. Найти площадь грани АВС;

5. Найти объем пирамиды АВСD.

 

1) А(1; 2; 1), В(– 1; 5; 1), С(– 1; 2; 7), D (1; 5; 9).

2) А(2; 3; 2), В(0; 6; 2), С(0; 3; 8), D (2; 6; 10).

3) А(0; 3; 2), В(–2; 6; 2), С(– 2; 3; 8), D (0; 6; 10).

4) А(2; 1; 2), В(0; 4; 2), С(0; 1; 8), D (2; 4; 10).

5) А(2; 3; 0), В(0; 6; 0), С(0; 3; 6), D (2; 6; 8).

6) А(2; 2; 1), В(0; 5; 1), С(0; 2; 7), D (2; 5; 9).

7) А(1; 3; 1), В(– 1; 6; 1), С(– 1; 3; 7), D (1; 6; 9).

8) А(1; 2; 2), В(– 1; 5; 2), С(– 1; 2; 8), D (1; 5; 10).

9) А(2; 3; 1), В(0; 6; 1), С(0; 3; 7), D (2; 6; 9).

10) А(2; 2; 2), В(0; 5; 2), С(0; 2; 8), D (2; 5; 10).

11) А(1; 3; 2), В(– 1; 6; 2), С(– 1; 3; 8), D (1; 6; 10).

12) А(0; 1; 2), В(– 2; 4; 2), С(– 2; 1; 8), D (0; 4; 10).

13) А(0; 3; 0), В(– 2; 6; 0), С(– 2; 3; 6), D (0; 6; 8).

14) А(2; 1; 0), В(0; 4; 0), С(0; 1; 6), D (2; 4; 8).

15) А(0; 2; 1), В(– 2; 5; 1), С(– 2; 2; 7), D (0; 5; 9).

16) А(1; 1; 1), В(– 1; 4; 1), С(– 1; 1; 7), D (1; 4; 9).

17) А(1; 2; 0), В(– 1; 5; 0), С(– 1; 2; 6), D (1; 5; 8).

18) А(0; 1; 0), В(– 2; 4; 0), С(– 2; 1; 6), D (0; 4; 8).

19) А(0; 1; 1), В(– 2; 4; 1), С(– 2; 1; 7), D (1; 4; 9).

20) А(0; 2; 0), В(– 2; 5; 0), С(– 2; 2; 6), D (0; 5; 8).

21) А(4; 2; 5), В(0; 7; 2), С(0; 2; 7), D (1; 5; 0).

22) А(4; 4; 10), В(4; 10; 2), С(2; 8; 4), D (9; 6; 4).

23) А(4; 6; 5), В(6; 9; 4), С(2; 10; 10), D (7; 5; 9).

24) А(3; 5; 4), В(8; 7; 4), С(5; 10; 4), D (4; 7; 8).

25) А(10; 6; 6), В(– 2; 8; 2), С(6; 8; 9), D (7; 10; 3).

26) А(1; 8; 2), В(5; 2; 6), С(5; 7; 4), D (4; 10; 9).

27) А(6; 6; 5), В(4; 9; 5), С(4; 6; 11), D (6; 9; 3).

28) А(7; 2; 2), В(5; 7; 7), С(5; 3; 1), D (2; 3; 7).

29) А(8; 6; 4), В(10; 5; 5), С(5; 6; 8), D (8; 10; 7).

30) А(7; 7; 3), В(6; 5; 8), С(3; 5; 8), D (8; 4; 1).

Задание №2 Даны векторы , , , . Показать, что векторы , , образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1) =(2;1;3), =(3; −2;1), =(1; −3; −4), =(7;0;7).

2) =(5;3;1), =(−2; −1;2), =(−2;1; 4), =(3;0;1).

3) =(1;3;5), =(−2;−1;−1), =(4; −2;4), =(−7;3;−1).

4) =(3;1;6), =(−2; 2;−3), =(−4; 5; −1), =(3;0;1).

5) =(4;1;4), =(−2; −1;1), =(3;1; 5), =(− 3;−2;1).

6) =(1;2;5), =(2; −3;4), =(1; −1; −2), =(3;0;1).

7) =(5;1;2), =(3; 4;−1), =(−4; 2; 1), =(−3;5;4).

8) =(2;1;5), =(−4; 3;5), =(1; −1; −4), =(4;−1;−3).

9) =(3;1;4), =(−4;2;3), =(2;−1;−2), =(7;−1;0).

10) =(1;4;2), =(5;−2;−3), =(−2;−1;1), =(−3;2;4).

11) =(1;3;1), =(1; 2;−1), =(−3; 2;5), =(0;−1;−2).

12) =(3;1;5), =(−2;3;−2), =(−1; 2; 4), =(−5;2;−7).

13) =(2;1;4), =(3; 1;5), =(1; −4;−3), =(1;0;1).

14) =(1;4;2), =(−4; 1;3), =(2;−3;4), =(−5;−3;1).

15) =(2;1;3), =(4; 1;−2), =(−3;2;1), =(2;0;−5).

16) =(1;2;4), =(2; −3;1), =(−3; −1; −2), =(1;−7;0).

17) =(3;1;5), =(−1; 2;3), =(4; 3; 2), =(2;7;8).

18) =(3;2;1), =(−3;1;−2), =(2;3;5), =(−4;−1;1).

19) =(4;3;2), =(−1; 2;−2), =(3;4;4), =(1;8;0).

20) =(2;1;4), =(−1;−2;3), =(3; −5; −2), =(1;−9;4).

21) =(5;1;2), =(8;2;−3), =(−1;3;2), =(−7;1;9).

22) =(1;3;2), =(2; −5;7), =(1;3;−1), =(4;1;8).

23) =(3;2;2), =(2;3;1), =(1; 1; 3), =(5;1;11).

24) =(1;5;3), =(2;1;−1), =(4;2;1), =(31;29;10).

25) =(4;2;5), =(−3;5;6), =(2;−3;−2), =(9;4;18).

26) =(2;3;3), =(−1;4;−2), =(−1;−2;4), =(4;11;11).

27) =(1;2;4), =(1;−1;1), =(2;2;4), =(−1;−4;−2).

28) =(3;−2;2), =(−1;1;−1), =(0;1;4), =(5;0;15).

29) =(3;2;1), =(−1;−5;1), =(1;−3;−1), =(4;−17;0).

30) =(1;2;3), =(1;−1;−2), =(1;−6;0), =(−1;8;3).

§11. Линейные преобразования, §12. Квадратичные формы.

1. В пространстве R² линейное преобразование задано матрицей в базисе , .

Найти образ вектора = 4 – 3 .

2. В пространстве R² линейное преобразование задано матрицей в базисе , .

Найти образ вектора = 3 +5 .

 

3. В пространстве R³ линейное преобразование задано матрицей в базисе , , .

Найти образ вектора = 2 +4 – .

4. В пространстве R³ линейное преобразование задано матрицей в базисе , , .

Найти образ вектора = 3 – 2 + .

 

5. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей A =

6. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей A =

7. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования A, матрица линейного преобразования A = .

8. Квадратичную форму записать в матричном виде:

1) ; 3)

2) ;

9. Исследовать на знакоопределенность и привести к каноническому виду квадратичные формы:

1) ; 3) ;

2) ; 4)

III. Аналитическая геометрия.