Доказательство (вывод) уравнения эллипса.

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Приходовский М.А.

Математика - 1 семестр

Курс лекций

Учебное пособие

Для специальностей

Информатика и вычислительная техника»

Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

Радиоэлектронные системы и комплексы»

Томск

ТУСУР

Кривые и поверхности.

Общее уравнение кривой 2-го порядка:

(здесь все степени не более второй).

Первые три слагаемых - квадратичная форма , если построить её матрицу и найти собственные числа, то:

если (они одного знака) то эллипс

если (разного знака) то гипербола,

если (одно из них равно 0) то парабола.

Оба собственных числа не могут быть 0, иначе был бы нулевой оператор, т.е. нулевая матрица, то есть в уравнении вообще не было бы квадратичной формы.

Вырожденные случаи. Обратим внимание, что далеко не всякое уравнение задаёт кривую, есть и вырожденные случаи, когда геометрическим местом точек является прямая или точка, несмотря на наличие второй степени в уравнении.

Это бывает, например, если в уравнении нет линейной формы и константы.

● одна точка, а именно начало координат.

● пустое множество

● - две прямых, т.к. распадается на . Получаются 2 биссектрисы, лежащие между осями.

● вертикальная прямая, ось Оу.

● две параллельные вертикальные прямые

● две координатные оси.

 

Определение эллипса. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек постоянна.

Замечание. Если два фокуса сблизить и совместить в одной точке, тогда эллипс превратится в окружность, так как = = const то есть удвоенное расстояние до центра постоянно, а значит и просто = const.

 

Вершины эллипса , , , .

называются большой и малой полуосями.

Две точки, сумма расстояний до которых константа в определении эллипса, называются его фокусами.

 

Доказательство (вывод) уравнения эллипса.

Выведем уравнение кривой, удовлетворяющей этому свойству ( = const), и докажем, что в уравнении должна быть сумма квадратов.

Пусть фокусы расположены в точках и . Вычислим по теореме Пифагора расстояние от точки (x,y) до двух фокусов. F₁ расположен дальше длина катета равна , тогда длина большего из двух отрезков, а именно , равна: .

Фокус F₂ наоборот, расположен ближе к точке на чертеже то есть катет на оси Ox равен , тогда .

Выясним, какой именно константе равна величина . Если расположить точку ровно в правой вершине, то получим , такая же сумма расстояний по определению должна быть и для произвольных точек. Итак, .

Заметим, что если оба корня возвести в квадрат, то они будут отличаться только одним слагаемым, а именно либо . Тогда можно так оценить разность квадратов:

= =

= .

Но ведь , то есть .

Тогда мы знаем и разность: .

Итак, получили систему, из которой можно определить каждое :

Сложив эти 2 равенства, получим ,

а вычитая второе из 1-го, .

Сопоставим выражения, изначально полученные по теореме Пифагора, с этими выражениями:

. Теперь возведём в квадрат:

. Тогда , далее , тогда .

Рассмотрим вершину . Сумма расстояний до фокусов равна , то есть каждый отрезок, показанный зелёной линией на чертеже, имеет длину :

Но ведь он является гипотенузой треугольника, один катет которого это малая полуось (длина ), а другой - (длина равна ). Таким образом, , тогда .

Итак, каноническое уравнение эллипса:

.

Если то кривая - окружность (частный случай эллипса):

, , фактически тогда это радиус, можно обозначить R.

Понятие эксцентриситет эллипса. Величина называется эксцентриситетом эллипса. Геометрический смысл: во сколько раз ближе к центру расположен фокус, чем дальняя вершина эллипса. Если окружность, то эксцентриситет равен 0. Известны эксцентриситеты орбит планет Солнечной системы. Но они - очень малые числа, так как орбиты очень близки к круговым, например 0,017 для Земли.