Эллипсоид 
При фиксировании любой переменной получится уравнение эллипса. Любое его сечение - эллипс. Полуоси a,b,c.
Если пара полуосей совпадает, т.е. 
или 
или 
, то эллипсоид вращения (сечения вдоль какой-то из плоскостей - круги а не эллипсы). Если же все 3 равны 
, то сфера 
.
- пустое множество (ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению).
Однополостный гиперболоид 
При z=0 сечение есть эллипс 
. Если фиксировать 
, то 
эллипс большего размера, но с тем же самым соотношением полуосей.
В вертикальных сечениях будут гиперболы: если фиксировать y, то уравнение сводится к виду, где разность квадратов.
Например, при y = 0: 
Докажем, что однополостный гиперболоид  содержит прямолинейные образующие.
|
В горизонтальном сечении при 
получается эллипс: 
. Его вершины: 
, 
, 
, 
. Рассмотрим вертикальную плоскость, проходящую через его вершину, например, 
. Эта плоскость имеет уравнение 
. Тогда в уравнении гиперболоида 
, т.е. 
. Получается 
, т.е. в вертикальной плоскости две прямых:
и 
, или можно записать так: 
и 
.
Это пара пересекающихся прямых.
Двуполостный гиперболоид 
.
В отличие от прошлого случая, здесь при малых z, по модулю меньших, чем c, вообще пустое множество в горизонтальных сечениях: 
здесь только при 
справа положительное число и в сечениях эллипсы. Поэтому фигура распадается на 2 части, вблизи начала координат вообще нет точек.
Вертикальные сечения - гиперболы.
Кстати, если вращать гиперболу, расположенную в одних четвертях, то получится 1-полостный гиперболоид, а если вращать гиперболу, которая была в других двух четвертях - 2-полостный гиперболоид:
Рассмотрим теперь две поверхности, в уравнениях которых содержится не 3, а 2 квадрата, и первая степень третьей переменной.
Эллиптический параболоид 
Горизонтальные сечения - эллипсы: если фиксировать z, то получим 
.Вертикальные сечения - параболы, ветви которых направлены вверх: если фиксировать например y, то получим
уравнение параболы. Параболические антенны построены именно с помощью такой поверхности, но 
(параболоид вращения).
Гиперболический параболоид 
.
Вертикальные сечения - параболы. Причём если фиксировать x, то сечение в плоскости 0yz - парабола, ветви которой направлены вниз 
, а если фиксировать y, то ветви вверх: 
.
В горизонтальных сечениях - гиперболы 
в зависимости от знака z, они то в одних, то в других четвертях.
Можно представить построение этой поверхности так: парабола, ветвями направленная вниз, повернута перпендикулярно и скользит своей вершиной по параболе, направленной ветвями вверх.
Общий случай.
В уравнении поверхности присутствует квадратичная форма 
.
Построить её матрицу (см. прошлую тему), найти собственные числа: 
. Возможны такие ситуации:
Если они все одного знака (
), то поверхность - эллипсоид.
Если два из них одного знака, а третье другого знака (
) гиперболоиды.
Если одно из них 0, а другие одного знака (
) эллиптический параболоид.
Если одно из них 0, а другие разного знака (
) гиперболический параболоид.
Задача 141. Доказать, что кривая 
является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси.
Решение. Выделим полный квадрат по каждой переменной.
в каждой скобке можно получить такое выражение, чтобы затем использовать формулы сокращённого умножения (ФСУ): 
. Надо прибавить константы в скобках, так чтобы всё сворачивалось, но для компенсации за скобками вычесть эти константы.
это каноническое уравнение.
Ответ. Центр 
, полуоси 
и 
.
Чертёж:
Задача 142. Доказать, что кривая 
является эллипсом, найти каноническое уравнение, центр и полуоси, построить чертёж.
Решение. Здесь в уравнении есть произведение 
, то есть надо сначала привести к главным осям квадратичную форму: 
. Строим её матрицу: 
.
Находим собственные числа и векторы. 
.
Собственные числа 1 и 9. Ищем собственные векторы.
. 
, оба уравнения пропорциональны, т.е. есть только такая информация: 
, т.е. 
. ФСР: вектор (1,1).
Нормируем его, то есть делим на длину, которая здесь 
. Получаем
- собственный вектор для .
Это единичный вектор в 1-й четверти, получающийся поворотом (1,0) на 45 градусов.
. 
, оба уравнения пропорциональны, фактически оно одно: 
, т.е. 
. ФСР: вектор 
.
Нормируем его, получаем 
собственный вектор для .
Это вектор во 2-й четверти, получающийся поворотом (0,1) на 45 градусов.
Запишем формулы перехода от одного базиса к другому:
Если подставить эти выражения в исходное уравнение, то после приведения подобных исчезнут выражения, содержащие разные переменные 
и 
:
в линейной форме полностью сократились, 
тоже сократятся.
.
Итак, как мы видим, коэффициентами как раз и оказались 9 и 1, то есть собственные числа матрицы этой квадратичной формы.
Заметим, что 1-й степени здесь нет, так что выделение полного квадрата надо делать только по .
, т.е. 
. Полуоси 1 и 3, то есть размеры эллипса: 2 на 6.
Центр 
, но это центр в новых координатах, а для чертежа надо найти центр именно в старых координатах 
. Их мы найдём по формулам взаимосвязи этих координат:
.
Если , то 
.
Итак, центр - точка (1,1). В направлении первого вектора нового базиса, а именно , полуось длины 1, а в направлении второго вектора полуось длины 3.
Ответ. Центр 
, полуоси 1 и 3.
Чертёж:
