Раздел III
Общая теория поверхностей второго порядка
Рассмотрим многочлен степени 2 от трех неизвестных
(1)
Инварианты общих ортогональных преобразований ПДСК в пространстве многочлена (1)
Инварианты поворота и переноса
Инварианты поворота
Аффинные свойства поверхностей второго порядка.
Пересечение поверхностей и прямой.
Рассмотрим поверхность второго порядка
(2)
(3)
Рассмотрим поверхность с уравнением (2) и прямую в пространстве
(4) 
Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и поверхности:
решаем: (4) подставляем в (2), получим:
(5)
(6)
Найдем точки пересечения, т.е. решения уравнения (5)
I. P=0 (5)-> 
(5.1)
(7)
Если прямая (4) удовлетворяют условию (7), то она называется прямой асимптотического направления относительно поверхности с уравнением (2).
Уравнение (5), различные решения
I.1. Q≠0
В этом случае прямая (4) пересекает поверхность (2) в одной точке.
I.2. Q=0 R≠0
(5.1)->R=0 (противоречие)
т.е. прямая не имеет точек пересечения с поверхностью, если она имеет асимптотическое направление (удовл (7)), то она является асимптотой.
I.3. Q=R=0
ур-е (5)-> 
, т.е. 
- решение (5)
все точки лежащие на прямой являются точками пересечения с поверхностью, т.е. прямая (4) целиком лежит на поверхности и она называет прямолинейной образующей поверхности.
Конус асимптотических направлений и асимптотический конус поверхностей.
Пусть все такие прямые проходят через т. М0.
Из (4)
-> в (7) и делим на t 2:
(8)
(8) – уравнение конической поверхности второго порядка с вершиной М0.
Определение. Коническая поверхность (8) называется конусом асимптотических направлений поверхности с уравнением (2).
Любая прямая асимптотического направления (удовл (7)), проходящая через т.М0 лежит на этом конусе.
Определение. Если т.М0 совпадает с центром поверхности второго порядка, то конус асимптотических направлений (8) называется асимптотическим конусом поверхности второго порядка.
II. P≠0 прямой неасимтотического направления относительно поверхности
II.1. 
тогда прямая (4) пересекает поверхность в двух точках и образует хорду
уравнение (5) имеет 2 корня
II.2. 
Прямая является касательной, она касается поверхности второго порядка.
II.3. 
Прямая не имеет точек пересечения с поверхностью второго порядка.
Касательная плоскость к поверхности второго порядка
Рассмотрим поподробнее случай II.2.
Пусть 
- точка касания => 
- принадлежит поверхности (2)
(*)
Для касательной прямой должно удовлетворять (*)
Из (4), пусть
--> (*) 
(*)=> 
(**)
=> 
(**)=> 
(9)
Уравнению (9) должна удовлетворять любая прямая, касающаяся поверхности в т. М 0.
(x;y;z) – это координаты текущей точки прямой, касающейся поверхности в т. М 0, т.к. это уравнение плоскости => все такие прямые укладываются в эту плоскость, она называется касательной плоскостью поверхности в т. М 0.
Центр поверхности второго порядка.
Центральные и нецентральные поверхности.
Определение. Точка пространства называется центром поверхности второго порядка, если любая хорда поверхности, проходящая через эту точку, делится в этой точке пополам.
Теорема 1. Точка М 0(x 0; y 0; z 0) – центр поверхности с уравнением (2) <=> выполняются условия 
, 
, 
(10)
Док-во:
|=> Пусть M 0 – центр
M 1 M 2 – хорда (4) и (2)
M 1 
M 2 
M 0 – середина хорды M 1 M 2=> 
t 1 и t 2 - корни уравнения 
(5)
по т. Виета Q =0 (т.к. 
)
(*)
Рассмотрим 3 линейно независимых неасимптотических вектора
; 
; 
и рассмотрим хорды этих направлений, проходящие через т. M 0, для них всех выполняется равенство (*)
(**)
Вопрос: как найти F 10, F 20, F 30? (**) – система однородных линейных уравнений на F 10, F 20, F 30. Рассмотрим определитель этой системы
, т.к. 3 вектора л/н,
=> по т.Крамера получаем, что
-- единственное решение.
<=| Если выполняется (10), докажем, что М 0 – центр.
Пусть выполняется (10) для точки М 0
Рассмотрим хорды, проходящие через т. M 0=> Q =0=(т.Виета. ур.(5))=>
=> 
; 
; 
=> M 0 – Центр.
Поверхность, которая имеет единственный центр, называется центральной.
(10): 
Пусть 
Тогда система (10) по теореме Крамера имеет единственное решение, поверхность имеет один центр. Если 
, то поверхность является нецентральной. Такая поверхность может не иметь центра, иметь прямую центров, иметь плоскость центров.