Типы и виды поверхностей второго порядка.




Путем ортогонального преобразования системы координат уравнение поверхности второго порядка (2) можно привести к одному из 5 типов, при этом преобразование представляет собой поворот вокруг какой- либо оси и перенос:

I тип

II тип

III тип

IV тип

V тип

 

Вычислим инварианты для этих 5 типов:

I тип

Из теоремы Виета=>

(I 3≠0) – уравнение первого типа, записанное через инварианты.

II тип

(I 3=0, I ≠0, k 4≠0) – уравнение II типа, записанное через инварианты.

III тип

Для III, IV, V типов K 3 является инвариантом и поворота и переноса.

(I 3=0, k 4=0, I ≠0) – уравнение III типа, записанное через инварианты.

 

IV тип

(I 2= I 3= k 4=0, I ≠0, k 3≠0) уравнение IV типа, записанное через инварианты.

V тип

Замечание. Инвариант поворота K 2 для 5 типа является полным инвариантом, т.е инвариантом поворота и переноса.

(I 2= I 3= k 3= k 4=0, I ≠0, k 2≠0) уравнение V типа, записанное через инварианты.

 


Виды уравнений поверхностей второго порядка

№ типа Уравнение типа и инварианты № вида Коэффициенты в уравнении (инв.) Каноническое уравнение Название
I I 3 ≠ 0   λ1 λ2 λ3    
  ± ± ± ± мнимый эллипсоид
  ± ± ± эллипсоид
  ± ± однополостный гиперболоид
  ± ± ± двуполостный гиперболоид
  ± ± ±   мнимый конус
  ± ±   конус
II I 3 = 0, k 4 ≠ 0   λ1 λ2    
  ± ± эллиптический гиперболоид
  ± гиперболический параболоид
III I 3 = k 4 = 0, I 2 ­≠ 0   λ1 λ2    
  ± ± ± мнимый эллиптический цилиндр
  ± ± действительный эллиптический цилиндр
  ± ±   пара мнимых пересекающихся плоскостей
  ± ≠0 гиперболический цилиндр
  ±   пара действительных пересекающихся плоскостей
IV I 2 = I 3 = k 4 = 0, k 3 ≠ 0     параболический цилиндр
V I 2= I 3= k 3= k 4=0, I ≠0   K 2    
  + пара мнимых параллельных плоскостей
  пара действительных параллельных плоскостей
    пара действительных совпадающих плоскостей
                     

 


Аффинная классификация поверхностей второго порядка

Определение. Две поверхности называются аффинно-эквивалентными, если при помощи некоторого АП (аффинного преобразования) пространства одну поверхность можно совместить с начальным геометрическим расположением второй поверхности.

Аффинная эквивалентность поверхностей является отношением эквивалентности на множестве всех поверхностей второго порядка.

Классы эквивалентности по отношению аффинной эквивалентности называются аффинными классами поверхностей второго порядка.

Теорема. Существует 17 аффинных классов поверхностей второго порядка.

1) мнимые эллипсоиды,

2) эллипсоиды,

3) однополостные гиперболоиды,

4) двуполостные гиперболоиды,

5) мнимые конусы,

6) действительные конусы,

7) эллиптические параболоиды,

8) гиперболические параболоиды,

9) мнимые эллиптические цилиндры,

10) эллиптические цилиндры,

11) гиперболические цилиндры,

12) пары мнимых пересекающихся плоскостей,

13) пары действительных пересекающихся плоскостей,

14) параболические цилиндры,

15) пары мнимых параллельных плоскостей,

16) пары действительных параллельных плоскостей,

17) пары совпадающих плоскостей.

 

Без доказательства.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2016-08-08 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: