• Главная
• Избранное
• Популярное
• Новые добавления
• Случайная статья

Вероятность безотказной работы

ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

 

 

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

 

 

1.1. Основные понятия теории надежности

Современная теория надежности охватывает широкий круг вопросов, а именно: разработка технических условий и требований, предъявляемых к техническим системам; построение этих систем; организация их эксплуатации, технического обслуживания и ремонта; замена изношенных и др. Проблемы, охватываемые теорией надежности, условно можно разделить на два взаимосвязанных направления: · физические основы надежности (связаны с изучением физико-химических свойств и параметров элементов изделий, происходящих в них физико-химических процессах, приводящих к отказам); · математическая теория надежности (основана на изучении статистических, вероятностных закономерностей отказов). Перспективное направление развития теории надежности определяется сочетанием математических методов с глубоким проникновением в физико-химическую сущность процессов, протекающих в изделии. Термины надежности стандартизованы. Согласно ГОСТу 27.002-85 надежность – свойство объекта сохранять во времени в установленных пределах значения всех параметров, характеризующих способность выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения, технического обслуживания, ремонтов, хранения и транспортировки. Надежность – сложный показатель, который может включать в себя такие свойства, как: · безотказность (свойство непрерывно сохранять работоспособность до наступления предельного состояния в течение некоторой наработки); · долговечность (свойство сохранять работоспособность до наступления предельного состояния при установленной системе технического обслуживания и ремонта); · ремонтопригодность (свойство в приспособленности к предупреждению и обнаружению причин возникновения отказов, повреждений и поддержанию и восстановлению работоспособности путем проведения ремонтов и технического обслуживания); · сохраняемость (свойство объекта непрерывно сохранять показатели безотказности, долговечности и ремонтопригодности в течение и после хранения и транспортировки). Для конкретных объектов и условий эксплуатации эти свойства могут иметь различную относительную значимость. Например, для сигнальных лампочек, предохранителей надежность определяется их безотказностью; для ремонтируемых объектов (таких как металлорежущие станки, бытовые стиральные машины, автомобили) важнейшими свойствами являются долговечность, ремонтопригодность.

1.2. Показатели надежности

Для решения практических вопросов необходимы показатели, характеризующие степень надежности оборудования с количественной стороны. Эти количественные характеристики и называются показателями надежности. Показатели надежности рассматриваются при государственной аттестации качества продукции. Наличие их позволяет производить инженерные расчеты надежности, устанавливать обоснованные технические требования к надежности проектируемых изделий, делать сравнительную оценку изделий по их надежности и принимать основные решения при организации технического обслуживания и ремонта в системе ППР. По ГОСТу 27.002.-83 и 23.642-79 все показатели надежности делят на два вида: единичные и комплексные. Единичные – количественно характеризуют только одно из свойств надежности: безотказность, долговечность, ремонтопригодность и т.д. Комплексные показатели одновременно характеризуют несколько свойств надежности, например, безотказность и ремонтопригодность объекта и т.д. Показатели надежности приведены в таблице 1.     Таблица 1- Основные показатели надежности Наименование Обозначение Пример записи Вероятность безотказной работы P(t) P(1000ч) ³ 0,9 Средняя наработка до отказа T1 T1= 1000 ч Интенсивность отказов l(t) l(100ч) < 0,05 1/ч Параметр потока отказов w(t) w(100ч) < 0,04 1/ч Наработка на отказ T0 T0 = 100 ч Установленная наработка на отказ to.y. to.y. < 1000 ч Вероятность восстановления F(tв) F(1,0 ч) ³ 0,9 Среднее время восстановления tв tв = 1,0 ч   Вероятность безотказной работы P(t) – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникает. Средняя наработка до отказа Т1 – математическое ожидание наработки объекта до первого отказа. Интенсивность отказов l(t) – условная плотность вероятности возникновения отказа невосстанавливаемого объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник. Параметр потока отказов w(t) – отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки. Наработка на отказ Т0 – отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки. Установленная наработка до отказа tо.у. – наработка до установленных в технической документации видов отказов, которую должен иметь каждый объект при заданных условиях эксплуатации. Вероятность восстановления Р(tв) – вероятность того, что время восстановления работоспособности объекта не превысит заданного. Среднее время восстановления tв – математическое ожидание времени восстановления работоспособности (собственно ремонта). Внезапные отказы в период нормальной эксплуатации определяются случайными неблагоприятными сочетаниями большого количества факторов. Случайность связана с тем, что причины события для нас являются скрытыми. Поэтому надежность необходимо рассматривать в вероятностном аспекте.

 

 

1.3. Аналитические зависимости изменения вероятности безотказной работы машины   Параметры надежности используются в статистической форме для оценки состояния объектов и в вероятностной – для прогнозирования. Первые выражаются в дискретных числах и при достаточно большом количестве испытаний принимаются за истинные характеристики надежности. Рассмотрим результаты проведенных для оценки надежности испытаний значительного числа N0 элементов в течение времени t. К концу испытаний остается Nи (исправных) и Nот (отказавших) элементов, тогда: 1. Вероятность отказов   . (1) Если испытания проводятся с целью прогнозирования надежности, то q(t) можно рассматривать как вероятность отказов (при достаточно большом N0).

Вероятность безотказной работы

(2)

Так как безотказная работа и отказ – взаимно противоположные состояния изделия, их сумма равна единице:

.

(3)

При анализе зависимостей (1) и (2) следует, что при t=0, N_от=1, , следовательно, ; при t ®¥ N_от= N₀, , Р(t) =0.

Следовательно, вероятность безотказной работы за рассматриваемый промежуток времени изменяется в указанных пределах. Покажем, что кривой, соответствующей этому изменению, является экспонента.

3. Плотность вероятности отказов f(t), или вероятность отказов в единицу времени, есть производная от функции вероятности отказов по времени или наработке в других единицах:

	,	(4)
	.	(5)

Выразим вероятность отказов и вероятность безотказной работы через плотность вероятности отказов. По определению

вероятность отказов за определенный промежуток времени равна сумме плотностей вероятностей отказов в промежутке времени и при t®¥:

,

что следует из предыдущих рассуждений. Из выражения (3)

(6)

4. Интенсивность отказов l(t)– это вероятность отказа в единицу времени при условии, что отказ до этого времени не наступал, то есть это скорость изменения отказа в единицу времени, отнесенная к числу исправных элементов (постоянных в указанном промежутке времени):

.

(7)

Из выражений (4) и (7) следует, что f(t) и l(t) отличаются знаменателями. Первое определяется относительно N₀, а второе – N _и.

Из выражений (4) и (5) следует

Умножив числитель и знаменатель на N _и, получим

(8)

Преобразуя выражение (8), получим:

.

Проинтегрируем:

,

получим

,

или

.

(9)

При нормальной эксплуатации объектов интенсивность отказов l(t)=const.= l, тогда

принимает выражение lt, а зависимость (9) представляется как

.

(10)

Из этого следует, что вероятность безотказной работы изменяется по экспоненте (рис. 1).

Рис. 1. Характер изменения безотказной работы Р(t) объекта
в зависимости от пробега (l)

В математической статистике закон распределения случайной величины Х может быть задан в аналитическом виде или таблицей, где против каждого возможного Х=х_i стоит соответствующая вероятность p_i.

При оценке работоспособности автомобиль рассматривается как система, состоящая из отдельных элементов. Испытание надежности систем очень сложно и дорого. Поэтому надежность систем вычисляют по надежности отдельных элементов.

Машины без специального резервирования рассматриваются как система из последовательно соединенных элементов (рис. 2).

Рис. 2. Система последовательно соединенных элементов

При таком соединении отказ одного элемента приводит к отказу системы (отказы считаются независимыми). По теореме умножения вероятностей вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятности безотказной работы элементов:

PC(t)=p1(t)p2(t)p3(t)….pn(t) (11)

При условии равенства надежностей элементов, то есть P₁(t)=P₂(t)=....P_n(t),

Pc(t)=p1 n(t) . (12)

Из зависимости (12) следует, что надежность сложной системы будет уменьшаться, даже если она состоит из достаточно надежных элементов. Например, система состоит из шести элементов с одинаково высокой надежностью P_i=0,99, n=6:

P_c(t)=(0,99)⁶»0,94.

Выразим вероятность безотказной работы, используя ее зависимость от вероятности отказов, теорию приближенных вычислений. Получим

Pc(t)=[1-θ1(t)][1-θ2(t)]…[1 θn(t)]≈1[θ1(t)+θ2(t)+…θn(t)]

(13)

При q₁(t)= q₂(t)=_... q_n(t) получим P_c(t)= 1-nq₁(t) и для заданных условий

P_i(t)= 0,99; q_i(t)= 0,01; n=6 имеем P_c=1-6·0,01=0,94.

Из приведенного выше следует: если требуется высокая надежность системы, состоящей из многих элементов, то простым повышением надежности ее элементов достичь требуемого качества часто не удается и приходится применять резервирование. Резервирование наиболее широко применяется при конструировании приборов в радиоэлектронной промышленности, когда резервные элементы имеют малые габариты и легко собираются в системы. В машиностроении резервирование может проявляться как при конструировании узлов, так и при решении вопросов организации производства:

· в ответственных узлах используют двойную систему смазки, двойное и тройное уплотнения;

· в станках применяют запасные комплексы специальных инструментов;

· в морских судах силовые установки имеют, как правило, по две машины;

· в пассажирских самолетах применяют 3-4 двигателя и несколько электрических машин. Выход из строя одной или даже нескольких машин, кроме последней, не приводит к аварии самолета;

· в автомобилях применяется двойная система тормозов, привод задних (передних) колес или сблокированный привод всех четырех колес; поворот передних или всех четырех колес при управлении автомобилем.

При постоянном резервировании резервные элементы или цепи подключаются параллельно основным (рис. 3).

Рис 3. Система с резервированием элементов

 

Вероятность отказа всех элементов системы (основных и резервных) по теореме вероятностей равна произведению отказов элементов ее составляющих:

θc(t)=θ1(t)•θ2(t)•θ3(t)…θn(t)=Пθ(t)

(

где q_i(t) – вероятность отказа i-го элемента.

Тогда вероятность безотказной работы

P_c(t)=1–q_c(t),

 

 

Тогда если q_c(t)=0,01, n=6, то P_c(t)=1-0,01⁶=0,9999..., то есть надежность значительно повышается.

Если в результате эксплуатационных испытаний получен некоторый статистический материал о величине в виде достаточно большого числа n различных случайных значений x_i,, изучаемой величины X, то совокупность (x₁, x₂, x₃,…, x_n) называется статистической выборкой. По имеющимся значениям статистической выборки можно:

·получить аналитическую зависимость неизвестной плотности вероятности f(x) или F(x);

· оценить неизвестные параметры M_x – математическое ожидание случайной величины и D_x – дисперсию дискретной, случайной величины.

Математическая обработка статистической информации о надежности производится в следующем порядке.

1. Из статистического ряда составляется вариационный ряд, при этом случайные реализации x_i записываются в порядке их возрастания и одинаковые значения не исключаются, а повторяются друг за другом.

2. Определяется размах варьирования R:

R=Xmax ----Xmin. .

3. Значение интервала группирования рассчитывается по формуле

где n – число членов вариационного ряда.

Полученное Δ_x округляют до ближайшего целого числа.

4. Количество интервалов группирования K рассчитывается по зависимости

K = R\ Δx

(18)

и полученное число округляется до ближайшего целого (при вычислениях K выбирается из ряда чисел 7, 11, 13, 15, 17...и т.д.), а затем уточняется _х.

5. Подсчитывается количество n_i тех значений X=x_i, которые попали в интервал длиной _х, и далее составляется таблица с указанием номера i- го интервала (по мере возрастания значений x_i) и чисел n_i для этих интервалов:

		...	I	...	K	...	å
ΔX1	ΔX2	…	ΔXi	…	ΔXk	…
		…		…		…

По данным таблицы строится график (рис. 4).

Рис. 4. Полигон случайных чисел

Объем статистических данных (число n) должен быть достаточно большим, чтобы обеспечить требуемую точность расчета исходя из того, что при варьировании всеми переменными при изменении K в пределах от 10 до 20 в каждом Dx_i должно быть Dn= 5.....10 значений x_i. Для удобства расчетов интервалы Dx_i выбирают одинаковыми.

6. Плотность вероятности случайной величины f(x) определяется

где: x _i – середины интервалов; n_i – значение отказов в i -м интервале; x – величина интервала; n – общее число отказов.

По результатам экспериментальных данных вычисляем значения плотностей вероятности случайных величин. Удобной формой представления плотности вероятности будет гистограмма частот – это столбчатая диаграмма, являющаяся совокупностью смежных прямоугольников, площадь каждого из которых пропорциональна частоте нахождения данной величины в изучаемой совокупности (рис. 5).

Рис. 5. Гистограмма частот случайных величин

При этом по оси (Y) откладываются f(x_i), а по оси (X) – х₁, х₂, х₃...х_k значения середины интервалов разбиения. Для удобства построения графика, показанного на рис. 5, заполняется таблица:

Чем меньше x и больше n, тем точнее гистограмма. Она по форме приближается к функции f(x). Основное свойство этой гистограммы состоит в том, что сумма площадей ее прямоугольников равна единице, то есть при x®0 и å n_i®n, åf_i(x)· x=1=F(x).

Вероятностное обозначение	Статистическая оценка
f(t)= P(t)=θ′(t)	f(t)=n(Δt)/(N0 Δt)
P(t)=1−∫0tf(t)dt	P(t) = [ N0−n(t)]/N0
θ(t) = ∫0Tf(t)dt	θ(t) = n(t)/N 0
λ(t) = f(t)/P(t)	λ(t) = n(Δt)/Nср Δt
T1 = ∫∞0 P(t) dt	Т1 = ∑t1/N0

Вторая модель испытаний на надежность используется при исследовании восстанавливаемых изделий. В этом случае отказавшие изделия немедленно заменяются новыми или заранее отремонтированными. Испытания считаются законченными, если число отказов или время испытаний достигает величины, достаточной для оценки надежности. В этом случае могут применяться два показателя: w(t) – параметр потока отказов, Т₀ - наработка на отказ.

Параметр потока отказов для любого закона распределения времени безотказной работы сохраняет соотношение с плотностью вероятности отказов в виде w(t)>f(t), а при t®¥ w(t)= n (Δt) / N Δt , т.е. при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток отказов становится стационарным. Наработка на отказ Т₀ является наглядной характеристикой надежности, поэтому широко используется на практике.

Математические зависимости основных показателей надежности для восстанавливаемых объектов:

Определение количественных характеристик надежности осуществляется двумя способами:

· по статистическим данным об отказах изделий, при этом используют статистические оценки показателей надежности;

· по известному аналитическому выражению какой-либо характеристики, тогда применяют вероятностное определение характеристики.

Пример.

Проводятся испытания на надежность трех экземпляров одного изделия. За время наблюдения первый отказал 6 раз при наработке 350 часов, второй отказал 11 раз за 400 часов и третий отказал 8 раз за 500 часов.

Определить наработку изделия на отказ.

Наработка на отказ определяется по известной статистической оценке

где ∑t_i – сумма наработок трех изделий, а ∑n_i – суммарное количество отказов.

Тогда ∑t_i =350+400+500=1250 ч, а ∑n_i =6+11+8=25 сут. и средняя наработка на отказ T = ∑t_i / ∑n_i = 50 ч.