ПРОГРАММА
дисциплины "Линейная алгебра и аналитическая геометрия" (1 и 2 семестры)
Содержание учебной дисциплины
МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Матрицы и операции над ними: сложение, умножение на скаляр, произведение матриц. Свойства этих операций.
Определители произвольного порядка и их свойства. Теорема о разложении определителя по элементам строки (столбца) и следствия из нее. Обратная матрица и ее элементы.
Произвольные системы линейных уравнений: совместные и несовместные, определенные и неопределенные. Матричная запись системы. Квадратные системы с невырожденным определителем. Формулы Крамера.
Минор матрицы. Ранг матрицы. Базисный минор. Теорема о базисном миноре. Необходимое и достаточное условие обращения в ноль определителя. Условие нетривиальной совместности однородной квадратной системы линейных уравнений.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Векторы. Простейшие операции над ними и их свойства. Линейная комбинация и линейная зависимость системы векторов. Признак линейной зависимости. Два признака коллинеарности двух векторов.
Теоремы о разложении векторов. Признак компланарности трех векторов пространства. Базисы. Координаты векторов. Теорема о координатах линейной комбинации векторов и действия с векторами в координатах. Признак коллинеарности двух и компланарности трех векторов в координатах.
Скалярное произведение двух векторов, его свойства и выражение в ортонормированном базисе. Применение скалярного произведения в геометрии и механике.
Направленный угол на плоскости и его мера. Ориентированная плоскость. Формулы для вычисления ортонормированных координат вектора в ориентированной плоскости.
Правые и левые базисы в пространстве. Ориентированное пространство и простейшие свойства его базисов. Векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов в ориентированном пространстве, их свойства, выражение в ортонормированном базисе и применения. Двойное векторное произведение трех векторов.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Аффинная и декартова система координат на плоскости и в пространстве. Формулы преобразования этих координатных систем.
Основные формулы аналитической геометрии: координаты вектора, определяемого парой точек; расстояние между двумя точками; формулы деления отрезка в заданном отношении; косинус и синус угла между векторами; площадь треугольника; объем параллелепипеда и тетраэдра.
Аналитическое задание фигур. Основные теоремы об аналитических (координатных) методах задания фигур Параметрические уравнения, неравенства и их графики. Уравнение фигуры. Общий метод нахождения аналитического задания (уравнений) фигур. Фигуры в пространстве: цилиндры, фигуры вращения и конусы. Их определение и основные теоремы об их уравнениях Достаточные признаки уравнений цилиндра, фигуры вращения и конуса. Примеры уравнений цилиндров, фигур вращения и конусов. Уравнение окружности и сферы.
Классификация фигур на алгебраические и трансцендентные. Сохранение степени многочлена при невырожденном линейном преобразовании переменных. Порядок алгебраической фигуры. Примеры.
Основная теорема о прямой на плоскости. Различные виды уравнений прямой на плоскости в векторной, аффинной и декартовой системах координат. Основные задачи для прямой.
Основная теорема о плоскости в пространстве. Различные виды уравнений плоскости в векторной, аффинной и декартовой системах координат. Основные задачи для плоскости.
Основная теорема о прямой в пространстве. Различные виды уравнений прямой в пространстве. Основные задачи для прямой в пространстве. Смешанные задачи для прямой и плоскости в пространстве.
Конические сечения: эллипс, гипербола, парабола. Их определение, вывод канонических уравнений и исследование свойств. Эксцентриситет и директрисы эллипса и гиперболы. Сопряженная гипербола, ее уравнение. Равносторонняя гипербола и ее уравнение относительно асимптот. Директориальное свойство конического сечения. Общее определение конического сечения.
Фигуры второго порядка в пространстве: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды и конусы второго порядка. Их канонические уравнения и свойства. Понятие о методе сечений для определения формы фигуры в пространстве и его применение при установлении формы фигур второго порядка.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Алгебраические группы, кольца и поля.
Линейное пространство, его аксиомы и простейшие следствия из них. Примеры линейных пространств. Арифметическое линейное пространство. Линейная комбинация и линейная зависимость векторов. Базис и координаты. Действия с векторами в координатах. Размерность пространства. Связь понятий "Базис" и "Размерность". Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка системы векторов, ее свойства и размерность. Новое определение ранга матрицы и его связь с прежним. Преобразование базисов и координат. Пересечение, сумма подпространств и их размерности. Прямая сумма линейных подпространств и прямое произведение пространств.
Линейные отображения (линейные операторы), их определение и простейшие свойства. Образ и ядро линейного оператора. Действия с линейными операторами. Изоморфизм линейных пространств и теорема об изоморфизме. Матрица линейного оператора и его координатная запись. Обратный оператор и его матрица. Теорема о соответствии между линейными операторами и матрицами. Преобразование матрицы линейного оператора при преобразовании базиса линейного пространства. Дефект и ранг линейного оператора и теорема о ранге. Формула связи между рангом, дефектом и размерностью пространства. Инвариантные подпространства. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.
Литература
УЧЕБНИКИ
1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1979.
2. Архангельский А.В. Конечномерные векторые пространства. М.: МГУ, 1982.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1976.
4. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.: Наука, 1970.
5. Кабанов Н.И. Основы линейной алгебры. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1995.
6. Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986.
7. Моденов П. С. Аналитическая геометрия. Изд-во МГу, 1969.
8. Пензов Ю. Е. Аналитическая геометрия. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972.
9. Постников М.М. Линейная алгебра. М.: Наука, 1986.
10. Постников М.М. Аналитическая геометрия М.: Наука, 1973.
11. В.Б. Поплавский.Линейная алгебра и геометрия. Лекции. Ч.1. Саратов: Изд. ”Сигма-плюс”, 2001. - 112с.
12. В.Б. Поплавский.Линейная алгебра и геометрия. Лекции. Ч.2. Саратов: Изд. ”Сигма-плюс”, 2002. - 104с.
ЗАДАЧНИКИ
1.Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987
2. Моденов П. С., Пархоменко А. С. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1976.
3.Сборник задач по векторной алгебре. Под ред. Пензова Ю.Е. и Ржехиной Н.Ф. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1972.