Индукция и дедукция.
2.1. Определение индукции и дедукции.
Различают два вида рассуждений: индукцию и дедукцию.
Дедукция (от лат. deduction – выведение) или дедуктивный метод – способ рассуждения от общего к частному, от общих положений к частным заключениям. Например, применение любого из признаков делимости.
Индукция (от лат. induction – наведение) – способ рассуждения от частного к общему, от фактов к обобщениям. Например, установление признаков делимости на 10, 5, 3 и 2 в VI классе (индукция используется при выводе признаков: признаки делимости устанавливаются, исходя из наблюдения за таблицей умножения).
Индукция и дедукция не изолированы друг от друга, а находятся в диалектическом единстве. Всякая научная дедукция является результатом предварительного индуктивного изучения материала и применением индуктивно полученных результатов.
Индукция и ее виды.
Индуктивное умозаключение сложилось в процессе многовековой общественно-исторической и производственной практики и обязано своим происхождением наблюдению и опыту. Как разновидность вывода, индукция упомянута впервые в трудах древнегреческого философа Сократа (469 – 399 гг. до н. э.)
Термин «индукция» имеет три основных значения:
1) это один из видов рассуждений, при котором из двух или нескольких единичных (это S есть р) или частных (некоторое S есть p) высказываний получают новое общее высказывание (все S есть р).
2) это метод исследования, при котором желая изучить некоторое множество объектов (некоторых явлений), изучают отдельные объемы (обстоятельства), устанавливая в них те свойства, которые присущи всему рассматриваемому множеству объектов (или те обстоятельства, от которых зависит данное явление);
3) это форма изложения (беседа, процесс обучения), когда от менее общих положений приходят к общим положениям (заключениям, выводам).
Рассмотрим следующие примеры:
Пример 1. Единичные суждения: если дискриминант D квадратного уравнения с действительными коэффициентами больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня; если D=0, то уравнение имеет один действительный корень; если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Частное суждение: D>0, D=0, D<0 исчерпывают все случаи, которые могут быть относительно дискриминанта.
Новое общее суждение: всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет не более двух действительных корней.
Здесь индукция выступает как особая форма вывода (умозаключения).
Пример 2.
Рассмотрим последовательность, заданную формулой
.
Опытным путем находим, что
f(0)=29, f(1)=31, f(2)=37.
Наблюдение и вывод: последовательность 
является последовательностью простых чисел (ложное высказывание, так как
– составное число).
– составное число).
Здесь индукция выступает как метод научного исследования, основанный на наблюдении и опыте.
В истории математики были случаи, когда известные математики ошибались в своих индуктивных выводах. Например, П. Ферма предположил, что все числа вида 
простые, исходя из того, что при
m = 1, 2, 3, 4 они являются таковыми, но Л. Эйлер нашел, что уже при m = 5 число 
не является простым (оно делится на 641).
Однако возможность получения с помощью индукции ложного заключения не является основанием для отрицания роли индукции в школьном обучении математике. Во-первых, применение индукции в учении корректируется и направляется учителем к открытию истин. Во-вторых, нужно добиваться понимания учащимися правдоподобного характера индуктивного заключения. Поэтому, применяя индукцию, необходимо всячески подчеркивать, что заключение является лишь предположением, гипотезой, которое может быть доказано (если оно истинно) или опровергнуто (если оно ложно).
Пример 3.
Знакомя учащихся с высотой треугольника, учитель чертит на доске треугольники разных видов и в каждом из них ученики проводят по три высоты; из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что три высоты в остроугольном и прямоугольном треугольниках пересекаются в одной точке (она лежит внутри треугольника или совпадает с вершиной). А в тупоугольном треугольнике проходят через одну точку прямые, которым принадлежат высоты. Здесь индукция выступает в роли метода обучения.
Различают два основных вида индукции: неполную и полную. Неполная индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.
Как отмечает Д. Пойа [3, с. 111], Л. Эйлер – мастер индуктивного исследования в математике, он сделал важные открытия с помощью индукции (о бесконечных рядах, в теории чисел и др. областях), т.е. с помощью наблюдения, дерзкой догадки и проницательных подтверждений. Однако Л. Эйлер в этом отношении не является единственным: другие математики, известные и менее известные, в своей работе также пользуются индукцией. Все же в одном отношении Л. Эйлер кажется почти единственным: он старается изложить относящиеся к вопросу индуктивные доводы заботливо, в деталях, в хорошем порядке. Он излагает их убедительно, но честно, как это подобает настоящему ученому. Его изложение является чистосердечным изложением идей, приведших его к этим открытиям, и имеет особую прелесть.
С точки зрения логики, неполной индукцией называется вывод, основанный на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий). Например, законы арифметических действий в школе (переместительный, сочетательный и т.д.) изучаются с помощью неполной индукции.
Вывод, основанный на неполной индукции, может быть ошибочным, поэтому индукция в качестве метода исследования применяется весьма осторожно. Значение неполной индукции состоит в том, что рассмотрение частных случаев позволяет выявить закономерность, помогает высказать гипотезу о характере этой закономерности; доказательство же должно быть осуществлено другим путем (обычно дедукцией). Неполная индукция позволяет догадаться об идее доказательства перед тем, как проведете его в деталях.
В процессе обучения школьников к неполной индукции нужно относиться осторожно, учащиеся должны знать, что заключения по индукции могут быть и ложными, и истинными, они нуждаются в доказательстве. Но пренебрегать неполной индукцией нельзя, в этом методе реализуется принцип обучения «от простого к сложному», изучение новых абстрактных понятий и высказываний проходит естественным путем через опыт и наблюдение, через восприятие и представление и т.д. Кроме того, используя индуктивный метод обучения, мы обучаем учащихся математической деятельности, «наводим» самих учащихся на новое понятие, теорему или формулу. Но вывод надо делать на рассмотрении не одного, а нескольких частных случаев.
Полной индукцией называется вывод, основанный на рассмотрении всех единичных или частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации. Если число этих случаев конечно и все они рассмотрены, то вывод, сделанный путем полной индукции, можно считать обоснованным.
Например, теорема об измерении вписанного угла, теорема косинусов.
Пример 4. В треугольнике ABC проведена высота СD. Какая из трех точек А, B и D лежит между двумя другими, если углы А и В треугольника острые. (Решение: точка В не может лежать между А и D, если бы она лежала между ними, то угол АВС был бы равен сумме углов ВСD и СDВ по теореме о внешнем угле треугольника, а значит острый угол В (по условию) был бы больше прямого. Точно так же точка А не может лежать между точками В и D. Значит, точка D лежит между точками А и В).
Дедукция и ее виды.
Дедукция есть форма вывода, при которой из одного общего или одного частного высказывания получают новое, менее общее или частное суждение. Дедуктивные процессы на строгом уровне описываются в исчислениях математической логики, а впервые теорию дедукции разработал Аристотель. Р. Декарт считал, что к познанию вещей человек приходит двумя путями: через опыт и с помощью дедукции, которую он называл умозаключением; опыт часто вводит нас в заблуждение, а дедукция избавляет нас от этого недостатка.
Дедуктивные выводы могут быть представлены следующими видами:
· Переход от более общего положения к менее общему или единичному.
Пример 5.
· Переход от более общего положения к общему положению, ему подчиненному.
Пример 6.
Сумма углов треугольника равна 180°, значит, сумма углов прямоугольного треугольника также равна 180°, поэтому сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
· Переход утверждения одной общности к утверждению той же общности.
Пример 7. Область определения четной (нечетной) функции симметрична относительно точки 0. Множество всех точек, соответствующих натуральным числам, не симметрично относительно никакой точки. Вывод: никакая функция с областью определения N не является четной (нечетной).
· Переход от единичного положения к частному.
Пример 8.
Число е – трансцендентное.
Число π – трансцендентное.
Некоторые иррациональные числа трансцендентны.
Математика является дедуктивной наукой. При строгом изложении любой математической дисциплины устанавливается система основных понятий и отношений (которые не определяются), затем конструируется система аксиом, связывающая эти понятия и отношения. На основе системы основных понятий, отношений и аксиом образуются новые понятия (которые определяются через известные понятия и отношения), и посредством правил вывода строятся новые теоремы и следствия из них, излагаемые в логической последовательности. Дедуктивное доказательство теорем характеризуется не только логической последовательностью шагов, но и обязательностью обоснования каждого шага ссылками на известные математические предложения, предшествующие рассматриваемым.
Как метод исследования дедукция характеризуется тем, что для получения нового знания о некотором объекте (понятии, свойстве) находят ближайший к данному объекту класс объектов (ближайшее родовое понятие) и применяют к этому объекту (понятию) существенные свойства этого класса объектов (признаки рода).
Например, изучая свойства прямоугольника, мы устанавливаем, что он есть параллелограмм, поэтому обладает всеми свойствами параллелограмма.
Дедукция может выступать в виде особой формы изложения материала в учебнике, как один из методов обучения, при котором от общих правил и положений приходят к менее общим или частным правилам или положениям. Например, применяя признаки подобия треугольника к рассмотрению конкретных задач, мы используем дедукцию.
В процессе развития математики индукция и дедукция не выступают изолированно: они тесно переплетаются между собой, часто бывают просто неразличимы. (Выводя из наблюдений признак делимости на 2, учащиеся пользуются индукцией, применяя его – дедукцией).
Метод математической индукции.
Особенно ярко взаимосвязь индукции и дедукции выступает при изучении математических предложений, доказываемых методом математической индукции.
Например, при выводе формулы бинома Ньютона.
1) Наблюдение и опыт:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3
2) гипотеза: очевидно, коэффициенты (a + b) n равны числам n -ой строки треугольника Паскаля.
3) обоснование (доказательство) – методом математической индукции.
Метод математической индукции основан на так называемом принципе математической индукции: если какое-нибудь утверждение, сформулированное для натурального числа n, проверено для n =1 и из допущения его истинности для некоторого значения n = k следует его истинность для значения n = k + 1, то утверждение верно для любого натурального числа n.
Таким образом, метод математической индукции, применяемый к доказательству некоторой теоремы (формулы) обычно выглядит так:
1-й шаг. Проверяем истинность для п =1.
2-й шаг. Допускаем, что теорема верна для некоторого n = k и, исходя из этого допущения, доказываем истинность теоремы для n = k + 1
3-й шаг. На основании первых двух шагов доказательства и принципа математической индукции, заключаем, что теорема верна для любого натурального n.
Пример 9. Доказать, что
1-й шаг. Проверяем истинность для n=1:
- верно
2-й шаг. Допускаем, что утверждение верно для некоторого n = k
и исходя из этого допущения, доказываем истинность утверждения для
n = k + 1:
=
= 
=
= 
.
Так как первое слагаемое делится на 27 по предположению индукции, а второе и третье слагаемые делятся нацело на 27, то и вся сумма делится на 27.
3-й шаг. На основании того, что данное утверждение верно для n =1 и из предположения того, что оно верно для некоторого значения n = k, доказана его истинность для значения n = k + 1, данное утверждение верно для любого натурального числа n.
В математике доминируют дедуктивные умозаключения, хотя индуктивные методы играют существенную роль. В школьном обучении математике по сравнению с математической наукой удельный вес индуктивных методов значительно возрастает. Это определяется психологическим факторами педагогического процесса, невысоким начальным уровнем познавательных возможностей детей, постепенным и длительным процессом формирования их интеллекта. Соотношение между этими методами зависит от возраста школьников. Если в начальных классах преобладают индуктивные методы, то в старших классах – дедуктивные.
Еще в начале XX века опытные педагоги указывали, что только к 14-летнему возрасту школьники достигают той логической зрелости, которая позволяет понимать необходимость и сущность дедуктивных доказательств и оправдывает систематическое применение этого метода. Сейчас с дедуктивным методом учащиеся знакомятся примерно в 12 лет. Методисты считают, что трудности значительно уменьшились хотя бы потому, что в предыдущих классах теоретический уровень обучения и уровень математической подготовки школьников значительно повысился.
Аналогия.
Аналогия примыкает к неполной индукции. Если две вещи связаны одна с другой в одном или более признаках, и если некоторое высказывание истинно относительно одной из них, то оно, возможно, истинно и относительно другой. Схема заключения по аналогии: А обладает признаками с 1, с 2, …, сn. В обладает теми же признаками с 1, с 2, …, сn. А обладает признаком d, вероятно, и В обладает признаком d.
Пример 10.
В планиметрии мы изучаем параллелограмм, в стереометрии аналогичной фигурой является параллелепипед. Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, противоположные грани параллелограмма равны и параллельны. Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся пополам, диагонали параллелепипеда – тоже. Наличие таких аналогичных свойств позволяет предположить, что эта аналогия распространяется и дальше. Так, сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон. Пробуя проверять аналогичное утверждение для параллелепипеда, убеждаемся, что у него сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его ребер и т.д.
Но заключение по аналогии, как и неполной индукции, нуждается в доказательстве. Учащимся надо показать ряд примеров, когда аналогия может привести к грубым ошибкам.
В планиметрии можно построить бесконечное множество правильных многоугольников с каким угодно числом сторон, в стереометрии существует всего лишь 5 правильных многогранников. В планиметрии из всех многоугольников жестким является только треугольник (многоугольник называется жестким, если, будучи сделан из твердых негнущихся стержней, подвижно скрепленных в вершинах, он не может подвергнуться деформации). В стереометрии жестким является любой выпуклый многогранник (теорема Коши) (многогранник будет жестким, если, будучи сделан из твердых негнущихся пластинок, подвижно скрепленных в ребрах, он не может подвергнуться деформации).
В планиметрии один из двух равновеликих многоугольников всегда можно разрезать на такие треугольники, из которых можно сложить другой. В стереометрии один их двух равновеликих многогранников вообще нельзя разрезать на такие тетраэдры, из которых можно сложить другой (теорема Дена – Кагана).
Разница между аналогией и индукцией состоит в том, что в индукции происходит заключение от отдельных объектов к роду, в аналогии же – от объекта к объекту, от одного класса к другому классу. Вероятность заключения по аналогии зависит от того, насколько признаки с 1, с 2, …, сn, принадлежащие А и В, преобладают над различиями между А и В: чем больше общих свойств, чем меньше различий, тем больше вероятность правильного заключения. При этом признаки, являющиеся следствием некоторого признака, не принимаются во внимание. Если В обладает признаком, несовместимым с теми признаками, на основании которых делается заключение по аналогии, то общие признаки А и В не имеют значения, и вероятность заключения по аналогии равна нулю. Если d – следствие с1, с2, …, сn, то нет надобности заключения по аналогии.
***
Наиболее глубоко идущей аналогией, позволяющей делать безошибочные заключения, является изоморфизм. В случае изоморфизма каждое предложение, справедливое для одного множества объектов, можно полностью и без доказательства переносить на изоморфное множество объектов. Это обстоятельство дает возможность при наличии нескольких взаимно изоморфных множеств ограничиваться детальным рассмотрением только одного из них. Так в аналитической геометрии изучение свойств фигур сводится к изучению отношений между определенными уравнениями.
Аналогия является одним из эвристических методов в процессе математического развития: может подсказать существование нового предложения, способ доказательства или решения задачи. Понятие о функции комплексного переменного создано по аналогии с функцией действительного переменного, геометрия n -мерного пространства – по аналогии с 2-мерным или 3-мерным.
***
Но многие математические ошибки и заблуждения учащихся объясняются неверными аналогиями:
Учитель должен искоренять такие ошибки и предупреждать их появление (главное – добиваться ясного понимания основных понятий, знания содержания и объема понятия).
Контрольные вопросы и задания
1. Какие три основные значения имеет термин «индукция»?
2. Какие три основные значения имеет термин «дедукция»?
3. Разъясните суть метода неполной индукции, его преимущества и недостатки. Приведите пример (не из лекции).
4. Опишите схему применения метода математической индукции. Приведите пример (не из лекции).
5. Опишите схему рассуждения по аналогии. Приведите пример (не из лекции).