Алгоритм построения эйлерова цикла

Эйлеровы цепи и циклы

Рассматриваемая задача является одной из самых ста­рей­ших в теории графов. В городе Кенигсберге (ныне Калининград) имелось семь мостов, соединяющих два берега реки Преголь, и два основа на ней друг с другом (рис. 1а). Требуется, начав путешествие из одной точки города прой­ти по всем мостам по одному разу и вернуться в исходную точку.

а) б)

Рис. 1.

Если поставить в соответствие мостам ребра, а участкам суши — вершины, то получится граф (точнее псевдограф), в котором надо найти про­стой цикл, проходящий через все ребра. В общем виде эта задача была решена Эйлером в 1736 г.

Определение 1. Эйлеровой цепью в неориентированном графе G называется простая цепь, содержащая все ребра графа G. Эйлеровым циклом назы­вается замкнутая Эйлерова цепь. Аналогично, эйлеров путь в орграфе G — это простой путь, содержащий все дуги графа G. Эйлеров контур в орграфе G — это замкнутый эйлеров путь. Граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым.

Простой критерий существования эйлерова цикла в связном графе дается следующей теоремой.

Теорема 1. (Эйлер) Эйлеров цикл в связном неориентированном графе G (X, E) существует только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.

Доказательство. Необходимость. Пусть m - эйлеров цикл в связном гра­фе G, x — произвольная вершина этого графа. Через вершину x эйлеров цикл проходит некоторое количество k (k ³1) раз, причем каждое прохождение, очевидно, включает два ребра, и степень этой вершины равна 2 k, т.е. четна, так как x выбрана произвольно, то все вершины в графе G имеют четную сте­пень.

Достаточность. Воспользуемся индукцией по числу m ребер графа. Эйле­ровы циклы для обычных (не псевдо) графов можно построить начиная с m =3.Легко проверить, что единственный граф с m =3, имеющий все вершины с четными степенями, есть граф K ₃ (рис. 2). Существование эйлерова цикла в нем очевидно. Таким образом, для m =3 достаточность условий доказываемой теоремы имеет место. Пусть теперь граф G имеет m >3 ребер, и пусть утверждение справедливо для всех связных графов, имеющих меньше, чем m ребер. Зафиксируем произвольную вершину a графа G и будем искать простой цикл, идущий из a в a. Пусть m(a, x) — простая цепь, иду­щая из a в некоторую вершину x. Если x ¹ a, то цепь m можно продолжить из вершины x в некотором направлении. Через некоторое число таких про­дол­­же­ний мы придем в вершину z Î X, из которой нельзя продлить полу­чен­ную про­стую цепь. Легко видеть, что z = a так как из всех остальных вершин цепь может выйти (четные степени!); a в a она начиналась. Таким образом, нами построен цикл m, идущий из a в a. Предположим, что построенный про­стой цикл не содержит всех ребер графа G. Удалим ребра, входящие в цикл m, из графа G и рассмотрим полученный граф . В графе все вершины имеют четные степени. Пусть — компо­нен­ты связ­нос­ти графа , содержащие хотя бы по одному ребру. Соглас­но пред­поло­же­нию индукции все эти компоненты обладают эйлеровыми циклами m₁, m ₁, …, m _k соот­вет­ствен­но. Так как граф G связан, то цепь m встре­чает каждую из компонент . Пусть первые встречи цикла m с ком­понентами происходят соответственно в вершинах x ₁, x ₂, …, x_k. Тогда про­стая цепь

n(a, a)=m(a, x ₁) U m₁(x ₁, x ₁) U m(x ₁, x ₂) U…U m _k (x_k, x_k) U m(x_k, a)

является эйлеровым циклом в графе G. Теорема доказана.

Замечание. Очевидно, что приведенное доказательство будет верно и для псевдографов, содержащих петли и кратные ребра (см. рис. 1,а).

Таким образом, задача о кенигсбергских мостах не имеет ре­ше­ния, так как соответствующий граф (см. рис. 1,б) не имеет эйлерова цикла из-за не­четности степеней все вершин.

Отметим, что из существования эйле­ро­ва цикла в неориентированном графе G не следует связность этого графа. Напри­мер, неориентированный граф G на рис. 3 обладает эйлеровым циклом и вместе с тем несвязен.

Совершенно также, как теорема 1, могут быть доказаны следующие два утверждения.

Теорема 2. Связный неориентированный граф G обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени в нем равно 0 или 2, причем если это число равно нулю, то эйлерова цепь будет являться и циклом.

Теорема 3. Сильно связный орграф G (X, E) обладает эйлеровым кон­ту­ром тогда и только тогда, когда для любой вершины x Î X выполняется

.

Можно также обобщить задачу, которую решал Эйлер следующим обра­зом. Будем говорить что множество не пересекающихся по ребрам простых цепей графа G покрывает его, если все ребра графа G включены в цепи m _i. Нужно найти наименьшее количество таких цепей, которыми можно покрыть заданный граф G.

Если граф G — эйлеров, то очевидно, что это число равно 1. Пусть теперь G не является эйлеровым графом. Обозначим через k число его вер­шин нечетной степени. По теореме … k четно. Очевидно, что каждая верши­на нечетной степени должна быть концом хотя бы одной из покрывающих G цепей m _i. Следовательно, таких цепей будет не менее чем k /2. С другой сто­роны, таким количеством цепей граф G покрыть можно. Чтобы убедиться в этом, расширим G до нового графа , добавив k /2 ребер , соединяющих раз­личные пары вершин нечетной степени. Тогда оказывается эйлеровым графом и имеет эйлеров цикл . После удаления из ребер граф разло­жится на k /2 цепей, покрывающих G. Таким образом, доказана.

Теорема 4. Пусть G — связный граф с k >0 вершинами нечетной степени. Тогда минимальное число непересекающихся по ребрам простых цепей, покрывающих G, равно k /2.

Алгоритм построения эйлерова цикла

Для начала отметим, что теорема 1 также дает метод построения эйлерова цикла. Здесь мы рассмотрим несколько иной алгоритм.

Пусть G (X, E) — связный неорентированный граф, не имеющий вершин нечетной степени. Назовем мостом такое ребро, удаление которого из связного графа разбивает этот граф на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру.

1°. Пусть a — произвольная вершина графа G. Возьмем любое ребро e ₁=(a, x ₁), инцидентное вершине a, и положим m = { e ₁}.

2°. Рассмотрим подграф G ₁(X, E\ m₁). Возьмем в качестве e ₂ ребро, инци­дентное вершине x ₁ и неинцидентное вершине a, которое также не является мостом в подграфе G ₁ (если такое ребро e ₂ существует!). Получим простую цепь m₂ = { e ₁, e ₂}.

3°. Пусть e ₂ = (x ₁, x ₂), x ¹ a. Рассмотрим подграф G ₂(X, E\ m₂) и удалим из него все изо­лированные вер­шины. В полученном подграфе выберем ребро e ₃Î E\ m₂, инцидентное вершине a, которое не является мостом в под­графе (если такое ребро e ₃ суще­ству­ет!). Получим простую цепь

m₃ = { e ₁, e ₂, e ₃}.

Продолжая указанный процесс, мы через конечное число шагов получим эйлеров цикл m = { e ₁, e ₂, …, e_n }, где n — число ребер графа G (X, E).

Обоснование алгоритма

Предположим, что уже построена простая цепь m _{k -1} = { e ₁, e ₂, …, e_{k -1}} для k ³2 методом, указанным в алгоритме. Пусть e_{k -1} = (x_{k -2}, x_{k -1}) и x_{k -1} ¹ a. Рас­смо­трим подграф , который получается из подграфа G_{k -1}(X, E\ m _{k -1}) удалением всех изолированных вершин. Вершина x_{k -1} в этом подграфе имеет нечет­ную степень, поэтому существует по крайней мере одно ребро e_k Î E\ m _{k -1}, ин­ци­дентное x_{k -1}. Если это ребро единственное, то оно не является мостом в графе . В противном случае вершина a будет связана с некоторой вер­ши­ной единственной цепью, содержащей ребро e_k, что противоречит суще­ствованию эйлерова цикла в графе G. Поскольку e_k - не мост, то процесс мож­но продолжать, взяв . Если ребро e_k не единственное инци­дентное вершине x_{k -1}, то среди этих ребер есть по крайней мере одно, не явля­ющееся мостом. В противном случае один из этих мостов можно выбро­сить так, что вершины x_{k -1} и a попадут в разные компоненты связности графа . Если x_{k -1} принадлежит компоненте M, то в этой компоненте все вер­шины имеют четную степень, поэтому существует эйлеров цикл в M, про­хо­дящий через x_{k -1}. Этот цикл содержит все ребра, инцидентные x_{k -1} и при­над­лежащие , являющиеся одновременно мостами. Получено противоречие, так как ребра из эйлерова цикла мостами быть не могут. Итак, в рассмотренном случае существует ребро e_k, инцидентное вершине x_{k -1} и не являющееся мостом. Значит, и в этом случае процесс можно продолжать, взяв

.

Из предыдущего следует, что процесс нельзя продолжать тогда и только тогда, когда мы попадем в вершину a, причем степень вершины a относительно непройденных ребер равна нулю. Докажем, что в этом случае построенный цикл m - простой цикл. Покажем, что m содержит все ребра графа G. Если не все ребра графа G принадлежат m, то не принадлежащие m ребра порождают компоненты связности C ₁, …, C_m (m ³1) в подграфе . Пусть компонента C_i, 1£ i £ m соединяется с циклом m в вершине y_i. Если существует ребро e Îm, такое, что e =(y_i, a), то при построении цикла m было нарушено правило выбора ребра e, что невозможно. Если часть цикла m, соединяющая y_i и a, состоит более чем из одного ребра, то первое ребро этой части было мостом, и поэтому было нарушено правило вы­бора , что невозможно. Итак, непройденных ребер быть не может, поэ­тому m - эйлеров цикл.