Эллипсоиды; гиперболоиды; параболоиды; конус. Конические сечения

Эллипсоиды.

Каноническое уравнение эллипса:

y²/b²+z²/c²=1

Ось вращения Оу.

Y=>y, z=>±√(x²+ z²),

Получаем: y²/b²+(z²+x²)/c²=1

Осуществляем сжатие или растяжение вдоль оси Оx: x=>c/a*x

x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, каноническое уравнение трехосного эллипсоида.

Гиперболоиды

Однополостный

y²/b²-z²/c²=1

x²/b²+y²/b²-z²/c²=1

x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

Однополосный гиперболоид является линейчатой поверхностью – через любую его точку могут проходить две прямые, целиком принадлежащие поверхности.

Этот факт впервые применил в строительстве великий русский инженер В. Г. Шухов.

Двуполостный гиперболоид

-x²/c²+y²/b²-z²/c²=1

-x²/a²+y²/b²-z²/c²=1

Двуполостный гиперболоид линейчатой поверхностью не является.

Параболоиды

y²=2pz

x²+y²=2pz

z=x²/2p+y²/2p

y=>√(2p/2q)y

z=x²/2p+y²/2q

эллиптический параболоид.

Гиперболический параболоид

Эту поверхность нельзя получить вращением одной кривой второго порядка –

z=x²/2p-y²/2q

z=-y²/2q

z=z0, z0>0;

z0=x²/2p-y²/2q

x²/2pZ0-y²/2qZ0=1

z=x²/2p-y²/2q

(рисунок)

Для данного рисунка О – седловая точка. С точки зрения мат. анализа – О это точка минимакса.

Для одной параболы – это точка минимума, для другой – точка максимума.

Гиперболический параболоид – линейчатая поверхность.

Конус

Пусть в плоскости zOy дана прямая z/c=y/b

Выберем в качестве оси вращения Oz.

z/c=±√(x²+c²)/b

z²/c²=x²/b²+y²/b²

x²/b²+y²/b²-z²/c²=0

x=>b/a*x

x²/a²+y²/b²-z²/c²=0 – уравнение конической поверхности.

Сечение, перпендикулярное оси вращения – окружность.

Сечение плоскость, направленной под углом к оси вращения, но не параллельно образующей и не перпендикулярно оси – эллипс.

Проведем плоскость, параллельно оси вращения – получится гипербола.

А если пересечь параллельно какой-нибудь образующей, то получиться парабола.

Пересекая конус различными плоскостями, получаем различные кривые второго порядка, поэтому они называются конические сечения.

Комбинаторика – область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям можно составить из заданных объектов.

Размещения - k-элементные подмножества n-элементного множества, отличающиеся друг от друга либо порядком, либо хотя бы одним элементом.

Перестановки - размещенияn-элементов из n-элементов.

Сочетания - k-элементные подмножества n-элементного множества, отличающиеся друг от друга только составом входящих элементов.

Размещения с повторениями- k-элементные подмножества n-элементного множества, отличающиеся друг от друга порядком и составом.

Высказывание – любое повествовательное предложение, относительно которого всегда можно сказать истинно оно или ложно.

Бинарное отношение σ (сигма) на множестве А - любое подмножество А².

Бинарное отношение σ рефлексивно, если для всех а є А: (а;а) є σ.

Бинарное отношение σ симметрично, если (а;b) є σ и (b;а) є σ.

Бинарное отношение σ транзитивно, если из ((а;b) є σ и (b;c) є σ) ð (а;c) є σ.

Отношение эквивалентности – отношение, которое является рефлексивным, симметричным и транзитивным.

Класс эквивалентности элемента а по отношению σ – множество всех элементов множества А эквивалентных а.

Заметка. Если 2 класса эквивалентности имеют хотя бы 1 общий элемент, то они совпадают.

Фактор-множество множества А – объединение непересекающихся множеств классов эквивалентности, на которые разбито множество (город, в котором каждый дом – это непересекающийся класс эквивалентности, а соседи – элементы класса).

Бинарное отношение σ антисимметрично когда из условия ((а;b) є σ и (b;а) є σ) ð b=a.

Бинарное отношение σ дихотомично, если либо (а;b) є σ, либо (b;а) є σ.

Отношение порядка (частичного порядка) – отношение, которое является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

 

Отношение линейного порядка - дихотомичное отношение частичного порядка.

Пусть даны два непустых множества А и В и задано отображение f множества А в множество В (А→В), при этом пишут b=f(a). Элемент b – образ элемента а при отображении, элемент а – прообраз элемента b.

Отношение f называется сюръективным, если каждый элемент множества В имеет прообраз в А.

(1) Отношение f называется инъективным, если каждый элемент b є B имеет не более одного прообраза.

(2) Отношение f называется инъективным, если разные элементы множества А отображаются в разные элементы множества В.

Отношение f называется биективным, если оно сюръективное и инъективное.

Мощность множества А – количество элементов множества А.

Множество А равномощно множеству В, если существует биективное отображение А на В.

Множество счетно е, если оно равномощно множеству N натуральных чисел.

Множество имеет мощность континуума, если оно равномощно множеству R вещественных чисел.

Алгебраической операцией на множестве А называется отображение а * b = c, или ab=c.

Операция коммутативна, если b*a=a*b.

Операция ассоциативна, если (a*b)*c=a*(b*c).

Левая единица множества (А;*): e_л*a=a

Правая единица множества (А;*): a*e_пр =a

Теорема. Если в множестве (А;*) есть и правая и левая единицы, то они равны.

Теорема. Если в множестве (А;*) есть единица, то она единственна.

Левый ноль множества (А;*): 0_л*a=0_л

Правый ноль множества (А;*): a*0_пр=0_пр

Обе теоремы справедливы и для нуля.

 

 

Операция *, введенная на множестве А называется обратной слева, если уравнение:

x*a=b имеет решение х є А, аналогично и для обратной справа (a*x=b).

Операция * называется сократимой слева, если из a*x=a*y ð x=y, аналогично и для сократимой справа (x*a=y*a).

Заметка. Если в (А;*) есть 0 (двухсторонний), то операция * - не сократима.

Множество Z_n целых чисел разбито на N непересекающихся подмножеств классов, каждое такое разбиение порождает отношение эквивалентности.

Эквивалентными считаются числа, попавшие в один и тот же класс эквивалентности C_i.

Если два числа попали в один класс, то их разность делится на n.

Два числа называют сравнимыми или даже равными по модулю n, если их разность делится на n.

Операции €(умножения) и U (сложения) по модулю n ассоциативны и коммутативны, т.к. операции выполняются над числами.

Группоид - множество А с введенной на нем алгебраической операцией.

Моноид – группоид с нейтральным элементом (единица).

Полугруппа – множество А с ассоциативной операцией *.

Степень группоида: aⁿ=a^n-1*a.

Элемент a из группоида А называется идемпотентным, если a*a=a.

Пусть в группоиде А есть 0 (нулевой элемент). Элемент а называется нильпотентным, если существует такое натуральное число аⁿ=0.

Гомоморфизм – отображение А→В (над стрелочкой φ), при котором: φ(x*y)=φ(x)° φ(y).

Изоморфизм – гомоморфизм множеств А и В с однозначным отображением φ, т.е. при котором существует y^(-1), такой что B→A.

Изоморфные множества А и В – это множества, между которыми существует изоморфизм (капитан очевидность отдыхает, в действии генерал ясенхуй).

Подполугруппа – непустое подмножество H C S, в котором для всех x,y є H: x*y є H.