Числа а и b называют вещественной и мнимой полуосями соответственно. Числа 2а и 2b – вещественной и мнимой осями.
Из определения b2 следует, что b2=c2-a2, c2=a2+b2
Если b=a, то гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы становится квадратом и его диагонали, т.е. асимптоты гиперболы, перпендикулярны. В этом случае их можно принять за новые оси координат. В результате получится «школьная» гипербола.
Эксцентриситет гиперболы. Оптическое свойство гиперболы
Эксцентриситетом гиперболы называют величину, равную отношению расстояния между фокусами к большей оси гиперболы.
E=2c/2aèE=c/a, E≥1
c2=a2+b2
c=√(a2+b2)
E=√(1+b2/a2), E2=1+b2/a2, b2/a2=E2-1, b/a=√(E2-1)
Если Е=1, то это означает, что c=a, b=0. В этом случае гипербола вырождается в отрезок на прямой Ox (-∞,-a] и [a,+ ∞).
Если E=∞, b/aè∞. Гипербола превращается в две прямые, перпендикулярные оси Ox и проходящие через вершины действительной оси гиперболы.
Если E=√2, то a=b, гипербола называется равносторонней, прямоугольник гиперболы вырождается в квадрат, асимптоты взаимно перпендикулярны.
Оптическое свойство гиперболы: свет от источника, находящегося в одном из фокусов гиперболы, отражается второй ветвью гиперболы таким образом, что продолжения отраженных лучей пересекаются во втором фокусе.
Параметрическое уравнение гиперболы
x=a ch(t)
y=b sh(t)
a2ch2(t)/a2-b2ch2(t)/b2=1, ch2(t)-sh2(t)=1 – основное гиперболическое тождество
В этой записи x≥a, поэтому эти параметрические уравнения описывают правую ветвь гиперболы. Левую ветвь описывает система:
x=-a ch(t)
y=b sh(t)
Сопряженная гипербола; связь между параметрами
Уравнение сопряженной гиперболы:
-x2/a2+y2/b2=1
Фокусы гиперболы располагаются на мнимой оси. (рисунок)
c2=a2+b2
E=c/b, E=√(1+(a/b)2), a/b=√(E2-1)
y=±b/a *x – уравнение асимптот сопряженной гиперболы.
Определение и вывод канонического уравнения параболы. Параметры параболы
Параболой называют множество точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой фокусом и фиксированной прямой, называемой директрисой.
Для вывода канонического уравнения параболы нужно построить специальную систему координат:
1. построить прямую, проходящую через F перпендикулярно директрисе и направить её от директрисы к F.
2. OF=P/2. P - параметр параболы, O – начало координат.
Точка фокуса параболы имеет координаты F (p/2, 0).
Уравнение директрисы: x=-p/2.
Точка M (x, y) принадлежит параболе, если расстояние d1 от директрисы до точки M равно расстоянию d2 от фокуса до точки M.
d1=x+p/2, d2=√((x-p/2)2+y2)
(x+p/2)2=(x-p/2)2+y2
x2-px+p2/4+y2=x2+px+p2/4
y2=2px – каноническое уравнение параболы. Число 2P называют раствор параболы.
Очевидно, если (x0, y0) принадлежит параболе, то и (x0, -y0), симметричная ей относительно оси Ox, так же принадлежит параболе.
Поэтому парабола имеет одну ось симметрии (Ox), одну вершину – О, один фокус F (p/2, 0) и одну директрису - x=-p/2.
Параметрических уравнений у параболы нет.
Оптическое свойство параболы
Пусть из фокуса луч выпущен на параболу. Отраженный луч пройдет параллельно оси Ох.
Если из фокуса на параболу выпущен пучок лучей, то они отразятся и пройдут параллельно Ох. Если на параболу направить пучок лучей, то после отражения они попадут в точку фокуса.
Первый факт используется в осветительных приборах.
(рисунок)
Параллельный перенос системы координат
Пусть в пространстве дана система координат XYZ и другая система координат X1Y1Z1 с соответственно параллельными и одинаково направленными осями. Пусть дана точка M (x, y, z) в данной системе координат и (x1, y1, z1) в новой. О (x0, y0, z0) – начало координат в старой системе.
Построим векторы ОМ, О1М и ОО1. Координаты точки М являются проекциями её радиус вектора, поэтому вектор ОМ совпадает с координатами в старой системе. ОО1 совпадает с координатами О1 в старой системе координат. Заметим, что проекции вектора на параллельные и одинаково направленные оси равны.
ОО1 + О1М=OM, значит это векторное равенство равносильно трем скалярным для одноименных координат:
х0+х1=х
у0+у1=у
z0+z1=z
Найдем старые координаты через новые:
х=х0+х1 х1=х-х0
у=у0+у1 => у1=у-у0
z=z0+z1 z1=z-z0
Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
Пусть уравнение кривой второго порядка не содержит, А2+С2>0
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0
Выделяя полные квадраты, приведем его либо к уравнению одного из следующих видов:
(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1
(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1
-(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1
(y-y0)2=±2p(x-x0)
(x-x0)2=±2p(y-y0)
Или будет какой-нибудь частный случай.
Введем новую систему координат:
x1=x-x0
y1=y-y0
O1 (x0, y0)
И получим систему с центром в точке O1. Тогда в новой системе координат уравнение кривой будет каноническим.