Задачи с уравнением окружности

 

Вспомним сначала общее уравнение окружности с центром и радиусом : ; и решим несколько задач без параметра.

1. Найти площадь фигуры, заданной неравенствами . Решение. Изобразим множество точек, удовлетворяющих первому неравенству. Для этого перепишем его в таком виде: . Граница этого множества — окружность с центром в точке и радиусом . Неравенству удовлетворяют все точки, лежащие в данном круге. Таким образом, заданная фигура – это часть круга с центром в точке (2; –2) и радиусом , лежащая правее прямой (рис. 1). Ответ: .

2. Сколько целочисленных решений имеет неравенство ? Решение. Преобразуем левую часть следующим образом: . Точки, удовлетворяющие данному неравенству, — это точки круга с центром в точке (–3; 2) и радиусом 2. Осталось только посчитать, сколько в этом круге точек с целыми координатами (рис. 2). Ответ: 13.

3.

Рис. 6

Решить систему неравенств . Решение. Преобразуем систему к виду . Первое неравенство описывает внешность круга (включая границу) с центром в точке и радиусом 10. Второе — внутренность (включая границу) круга с центром в точке (2; 1) и радиусом 5 (рис. 3). Заметим, что расстояние между центрами этих окружностей равно , т. е. равно разности радиусов большей окружности и меньшей окружности. Отсюда следует, что окружности касаются внутренним образом, и единственная точка, удовлетворяющая этим неравенствам, — это точка касания, симметричная точке (–2; 4) относительно точки , т. е. точка (6; –2) (симметричность следует из того, что точка , лежит на середине отрезке между центром большей окружности (–2; 4) и точкой касания). Ответ: (6; –2).

Перейдем к задачам с параметром.

4. При каких значениях параметра неравенство имеет не менее пяти целочисленных решений? Решение. Преобразовав данное неравенство, получим неравенство . Это неравенство задает круг с центром в точке (3; –2) и радиусом . Чтобы в этот круг вошло не меньше пяти целочисленных точек, нужно, чтобы его радиус был не меньше 1 (рис. 4). Ответ: .

5. При каких значениях параметра система имеет ровно два решения? Решение. Как и множество других задач такого типа, эта задача гораздо проще решается графически. Уравнения этой системы задают две линии. Одну из них, не зависящую от параметра, мы будем называть «неподвижной», а ту, кото рая зависит от параметра, «движущейся». По сути дела, «движущаяся» линия — это семейство линий, но при решении удобнее представлять ее именно как линию, движущуюся по плоскости. Решение обычно состоит в том, что мы изображаем «неподвижную» линию, а затем мысленно двигаем по плоскости «движущуюся» линию, пытаясь найти такое ее положение, при котором выполняются условия задачи. Итак, изображаем «неподвижную» линию . Это две прямые и . Наша «движущаяся» линия — это окружность с центром в точке и переменным радиусом . Ее «движение» — это сжатие или растяжение в зависимости от изменения радиуса. Мы должны найти такое значение радиуса, при котором окружность имеет с прямыми ровно две общие точки. Мы видим, что есть только одно такое положение окружности, оно соответствует значению радиуса (рис. 5). Ответ: .

6. При каких значениях а система равносильна системе ? Решение. Вспомним, что две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений (или обе не имеют решения). Сразу можно отметить, что при обе системы не имеют решения, значит, отрицательные значения параметра нужно включить в ответ. При и та, и другая система имеет единственное решение (0; 0), следовательно, равносильность тоже выполняется. При положительных значениях получаем в первой системе окружность радиуса и прямую (рис. 7), а во второй системе ту же окружность и бесконечное множество прямых (см. рис. 6). Мы видим, что множества решений будут совпадать, если окружность не будет пересекать прямые . Это будет в том случае, если радиус окружности меньше, чем . Ответ: .

8. При каких значениях параметра система имеет ровно четыре решения? Решение. Изображаем «неподвижную» линию, раскрывая знаки модуля отдельно в каждой четверти. Затем «сжимаем» и «растягиваем» окружность с центром в начале координат в поисках такого положения, чтобы она имела ровно четыре общие точки с «неподвижной» линией. Мы видим, что таких положений два (рис. 8). Одно соответствует значению радиуса 2, а второе — . Ответ: .

9.

При каких значениях параметра система имеет ровно восемь решений? Решение. Графическое исследование, проведенное в предыдущей задаче, показывает, что восемь точек пересечения будет, когда радиус находится в промежутке . Ответ: .

10. При каких значениях параметра из неравенства следует неравенство ? Решение. Вспомним, что означают слова «из неравенства (1) следует неравенство (2)». Они означают, что любая точка , удовлетворяющая неравенству (1), удовлетворяет также неравенству (2). Т. е. множество решений неравенства (1) содержится во множестве решений неравенства (2). Поскольку множество решений неравенства (1) — это круг радиуса , а множество решений неравенства (2) — это квадрат (рис. 11), то нужное расположение будет в том случае, когда радиус круга . Ответ: .

Рассмотрим небольшое усложнение этой задачи.

11. При каких значениях параметра из неравенства следует неравенство ? Решение. Понятно, что при все предыдущие рассуждения пригодны, и при условие задачи выполнено. Что делать, когда ? В этом случае неравенство (1) не имеет решений. Запомните, что изнеравенства, не имеющего решений, следует любое неравенство. (То же верно и для уравнений, систем уравнений или неравенств). Т. е. в этом случае условие задачи также выполнено. Ответ: .

12. При каких значениях параметра неравенство является следствием неравенства ? Решение. Неравенство (1) задает на плоскости круг с центром в точке (1; 0) радиуса (при . Неравенство (2) задает квадрат (рис. 9) с вершинами в точках , , , (–4; –4). Чтобы круг с центром в точке (1; 0) полностью лежал в квадрате, нужно, чтобы его радиус был не больше 3. Т. е. должно выполняться неравенство . При неравенство (1) не имеет решений, следовательно, условие задачи также выполняется. Ответ: .

13.

При каких значениях параметра система имеет ровно четыре решения? Решение. «Неподвижная» линия в данном случае ромб, и это усложняет задачу. Мы должны внимательно проделать мысленное «растяжение» окружности и проследить за количеством точек пересечения. Мы видим, что такое положение имеется, во-первых, в момент касания окружности и ромба (рис. 10), во-вторых, когда вершины ромба, лежащие на оси Оx, уже находятся внутри окружности, а вершины ромба на оси Оy еще вне окружности (рис. 12). Радиус окружности, вписанной в данный ромб, вычисляется как высота прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2, опущенная на гипотенузу: . Ответ: .

14. При каких значениях параметра система имеет ровно шесть решений? Решение. Единственное подходящее расположение окружности показано на рис. 11. Ответ: .

15.

При каких значениях параметра система имеет единственное решение? Решение. «Растягивая» окружность с центром в точке (3; 0), мы найдем два положения, в которых точка пересечения единственная (рис. 15). Они соответствуют значениям радиуса 1 и 5. Ответ: .

16. При каких значениях найдутся удовлетворяющие уравнению Решение. Данное уравнение равносильно системе Изобразим окружность с центром в точке (1; –1) (ее радиус зависит от параметра), и область, лежащую выше прямой (рис. 16). Решение будет существовать, если радиус не меньше значения, соответствующего касанию: . Ответ: .

17.

Рис.1

При каких значениях параметра система имеет хотя бы одно решение? Решение. Преобразуем второе неравенство к виду и увидим, что оно задает круг с центром в точке (0; 1) радиуса . Чтобы изобразить множество, задаваемое первым неравенством, нарисуем сначала прямые , , причем вторую пунктиром, поскольку она не войдет во множество (рис. 17). Между этими прямыми выражения сохраняют знак, и несложно определить, какой именно. Неравенству будет удовлетворять точки заштрихованной области (рис. 19). Мы видим, что решения системы будут тогда, когда радиус окружности не меньше, чем у окружности, касающейся прямой , т. е. . Ответ: .

Рассмотрим теперь другой вид движения окружности: сдвиг.

18. При каких значениях параметра система имеет единственное решение? Решение. В данном случае «неподвижная» линия — окружность с центром в начале координат и радиусом 2, а «движущаяся» линия — тоже окружность радиуса 2, но центр ее — точка , зависящая от параметра, т. е. перемещающаяся по оси Оx. «Двигая» эту окружность, найдем два положения, в которых будет единственная точка пересечения (рис. 18). Ответ: .

Аналогичным способом решаются задачи, в которых «неподвижной» линией является окружность, а «двигаются» линии другого вида.

19. При каких значениях параметра система имеет ровно восемь решений? Решение. В данном случае «неподвижна» окружность с центром в начале координат и радиусом 2. «Движущаяся» линия — это квадрат с вершинами в точках (при . Квадрат «растягивается» или «сжимается» в зависимости от изменения параметра. Используя рис. 11, несложно понять, при каких значениях параметра линии будут пересекаться в восьми точках. Ответ: .

20. При каких значениях параметра система имеет хотя бы одно решение? Решение. Введем новые переменные . Выразим из этих уравнений через новые переменные: . Подставив эти выражения в первое уравнение, получим уравнение окружности: . Итак, в новых переменных получилась простая система (рис. 19). «Растягивающийся» квадрат должен пересекаться с окружностью, отсюда . Ответ: .

21. При каких значениях существует значение такое, что система имеет ровно три решения? Решение. «Неподвижная» линия — ромб с вершинами , (–1; 0), , (0; –3). «Движущаяся» линия — окружность с переменным центром и переменным радиусом. Наличие двух параметров, конечно, очень усложняет задачу. Мы должна сначала зафиксировать центр окружности в некоторой точке , а затем мысленно менять радиус, выясняя, можно ли при данном центре получить три точки пересечения. Заметим, что среди этих трех точек обязательно должна быть вершина ромба, лежащая на оси Ox. Поэтому можно рассматривать только окружности, проходящие через эти вершины, и выяснять, при каком расположении центра будут три точки пересечения. Рассмотрим сначала окружности, проходящие через точку (–1; 0). Мы видим (рис. 20), что три точки пересечения будут до тех пор, пока окружность не коснется противоположной стороны ромба. Вычислим положение центра в этот момент. Нужно потребовать, чтобы расстояние от точки до прямой равнялось ее расстоянию до точки (–1; 0). Составим это уравнение: . Учитывая, что , получаем . Мы нашли положение центра в момент касания, а условию задачи удовлетворяют значения . Еще одно подходящее положение возникнет в тот момент, когда окружность пройдет через три вершины (0; 3),(0; –3). Подставив эти точки в уравнение окружности , получим . Для окружностей, проходящих через точку (1; 0), получим симметричные значения. Ответ: .

22.

Найти значение такое, что наименьшее положительное значение , при котором система имеет решение, равно 2. Решение. Линия является окружностью с центром в точке (0; 3) радиуса , линия — «уголок» с вершиной в начале координат, — угловой коэффициент правого луча (рис. 21). Очевидно, наименьшее значение радиуса, при котором линии пересекаются — это такой радиус, при котором окружность касается сторон «уголка». По условию это радиус, равный 2. Обозначим через А центр окружности, через В точку касания (рис. 21). Тогда , а угловой коэффициент прямой ОВ равен . Ответ: .