Задание 16
| Определение | Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь, масса, температура и т.д.
Вектором называется направленный отрезок  ; точка  - начало, точка  - конец вектора (рис. 1).
|
Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: либо одной малой буквой: 
.
| Определение | Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как  .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).
|
| Определение | Два коллинеарных вектора и  называются сонаправленными, если их направления совпадают:  (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора и называются противоположно направленными, если их направления противоположны:  (рис. 3, б).
|
| Определение | Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4). |
Два вектора всегда компланарны.
· ДЛИНА (МОДУЛЬ) ВЕКТОРА
| Определение | Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом: 
|
Длина нулевого вектора равна нулю. Длина единичного вектора 
равна единице.
Если вектор задан своими координатами: 
, то его длина находится по формуле:
*здесь указаны a1, a2, a3, а 2 вверху в формуле означает, что эти числа взяты в квадрат
| Определение | Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.
Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:
 , если 
|
В произвольной точке 
пространства можно построить единственный вектор 
, равный заданному вектору .
| Определение | Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат. |
| Пример | Задание. Найти длину 
Решение. Используя формулу, получаем:
|
· ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
| Определение | Линейными операциями над векторами называются операции сложения векторов и умножения вектора на число. |
· СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
| Определение | Сложение векторов и осуществляется по правилу треугольника.
Суммой  двух векторов и называют такой третий вектор  , начало которого совпадает с началом , а конец - с концом при условии, что конец вектора и начало вектора совпадают (рис. 1).
|
| Определение | Правило параллелограмма - если два неколлинеарных вектора и привести к общему началу, то вектор  совпадает с диагональю параллелограмма, построенного на векторах и (рис. 2). Причем начало вектора совпадает с началом заданных векторов.
|
| Определение | Вектор  называется противоположным вектором к вектору , если он коллинеарен вектору , равен ему по длине, но направлен в противоположную сторону вектору .
|
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1. 
- коммутативность
2. 
- ассоциативность
3. 
4. 
| Определение | Разностью  векторов и называется вектор такой, что выполняется условие:  (рис. 3).
|
· УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
| Определение | Произведением  вектора на число  называется вектор , удовлетворяющий условиям:
1. 
2. 
3. , если  , , если  .
|
Свойства умножения вектора на число:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Здесь и - произвольные векторы, , 
- произвольные числа.
· РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕ
Для двух коллинеарных векторов и всегда имеет место соотношение: 
, где 
- некоторое ненулевое число.
Если ввести в рассмотрение единичный вектор (или орт) 
, длина которого равна единице: 
и который коллинеарен вектору , то последний можно представить в виде: 
Произвольный вектор можно представить в виде: 
, где 
, 
- произвольные числа, а тройка векторов , и компланарна (рис. 1).
| Определение | Представление называется разложением вектора по компонентам и . Если векторы и не коллинеарны, то приведенное представление единственно.
|
Для трех попарно неколлинеарных векторов , и и произвольного вектора 
существует единственное разложение: 
· ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ
Пусть задан вектор и некоторая ось 
с единичным вектором . Точки 
и 
- проекции точек и на ось соответственно.
| Определение | Проекцией вектора на ось называется длина отрезка  , взятая со знаком "+", если направление  совпадает с направлением вектора , и со знаком "-", если направление противоположно направлению единичного вектора оси (рис. 1).
|
Проекция вектора на ось обозначается символом 
.
· СВОЙСТВА ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРОВ
Проекции равных векторов на одну и туже ось равны.
Вектор и его проекция - вектор - связаны следующим векторным равенством:
Проекция вектора 
на некоторую ось равна проекции на эту же ось вектора , умноженного на число :
Проекция вектора на ось равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ним и положительным направлением оси на некоторую ось :
· ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ
| Определение | Три некомпланарных вектора , и , приведенных к общему началу, образуют так называемую связку трех векторов (или тройку векторов).
Тройка векторов называется упорядоченной, если четко сказано, какой вектор в ней идет первым, и так далее.
Тройка векторов , и называется левой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется по ходу часовой стрелки (рис. 1).
Тройка векторов , и называется правой, если поворот от вектора к вектору , видимый с конца третьего вектора , осуществляется против хода часовой стрелки (рис. 2).
|
· КООРДИНАТЫВЕКТОРА
Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) 
и произвольный вектор , начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).
| Определение | Координатами вектора называются проекции  и  данного вектора на оси  и  соответственно:
Величина называется абсциссой вектора , а число - его ординатой. То, что вектор имеет координаты и , записывается следующим образом:  .
|
| Пример | Запись  означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
|
· СУММА ДВУХ ВЕКТОРОВ, ЗАДАННЫХ КООРДИНАТАМИ
Пусть заданы и 
, тогда вектор имеет координаты 
(рис. 2).
| Определение | Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты. |
| Пример | Задание. Заданы  и  . Найти координаты вектора
Решение. 
|
· УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
Если задан , то тогда вектор имеет координаты 
, здесь - некоторое число (рис. 3).
| Определение | Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число. |
| Пример | Задание. Вектор  . Найти координаты вектора 
Решение. 
|
Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки 
и 
. Тогда координаты вектора 
находятся по формулам (рис. 4):
| Определение | Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала. |
| Пример | Задание. Найти координаты вектора , если 
Решение. 
|
· НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ
| Определение | Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов, образованных вектором с положительными направлениями осей координат. |
Направление вектора однозначно задается направляющими косинусами. Для единичного вектора направляющие косинусы равны его координатам.
Если в пространстве задан вектор 
, то его направляющие косинусы вычисляются по формулам:
Здесь , и 
- углы, которые составляет вектор с положительными направлениями осей , и 
соответственно.
· ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО НАПРАВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ
| Определение | Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице. |
Если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:
Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора , то его координаты могут быть найдены по формулам:
· УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
Пусть заданы два произвольных ненулевых вектора и . Приведем их к общему началу, для этого отложим от некоторой точки 
векторы 
и 
, равные соответственно заданным векторам и (рис. 1).
| Определение | Углом между векторами и называется угол  .
|
Угол между сонаправленными векторами равен 0°, а между противоположно направленными - 180°.
| Определение | Два вектора называются перпендикулярными или ортогональными, если угол между ними равен 90°. |
Угол между двумя векторами , 
заданными своими координатами, вычисляется по формуле:
| Пример | Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов  , а их длины  . Найти угол между векторами и .
Решение. Косинус искомого угла:
|
| Пример | Задание. Найти угол между векторами  и 
Решение. Косинус искомого угла:
|
· РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ОРТАМ КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ
| Определение | Система ортов (или базисная система векторов) - это система единичных векторов осей координат. |
Орт координатной оси обозначается через 
, оси - через 
, оси - через 
(рис. 1).
Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение: 
Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид: 
| Пример | Задание. Зная разложение по базисной системе векторов:  , записать координаты этого вектора в пространстве.
Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что  , получаем, что 
|
| Пример | Задание. Вектор задан своими координатами:  . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.
Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе, поэтому искомое разложение:
|