Цель изучения: | усвоить учебные элементы на уровне знаний и умения применять их для выдвижения гипотезы и проверки гипотезы о законе распределения случайной величины. |
Учебные вопросы:
1. Статистическая гипотеза. Нулевая гипотеза. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий.
2. Критерий Пирсона.
Краткие сведения из теории
I. Статистической называется гипотеза о виде неизвестного распределения, или о параметрах известного распределения.
Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .
Конкурирующей (альтернативно) называют гипотезу , которая противоречит основной.
Гипотезы бывают:
1) простые;
2) сложные.
Ошибка первого рода состоит в том, что отвергается правильная нулевая гипотеза.
Ошибка второго рода состоит в том, что принимается неправильная нулевая гипотеза.
Статистическим критерием (критерием, критерием согласия) называют случайную величину, которая служит для проверки гипотезы.
II. Критерий согласия Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий для проверки простой гипотезы о законе распределения, читается «хи квадрат».
Правило проверки гипотезы по критерию Пирсона о законе распределения случайной величины:
1) Эмпирическое распределение задано в виде последовательности равно отстоящих вариант и соответствующих им частот и задан уровень значимости .
… | ||||
… |
2) Вычисляем по формулам , и соответственно выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое .
3) Вычисляем теоретические частоты,
, |
где – объем выборки (находим по формуле );
– шаг (разность между двумя соседними вариантами);
, . |
Значение функции находим по таблице Приложений №1, причем , т.е. функция является четной.
4) Сравниваем эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого:
А) составляют расчетную таблицу 4.1.,
Расчетная таблица 4.1.
… | |||||
по которой находят наблюдаемое значение критерия
. |
Б) по таблице Приложений №2 критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы
, |
где – число групп выборки,
– число параметров предполагаемого распределения (для нормального распределения ),
находят критическую точку правосторонней критической области.
5) Делаем вывод. Если , то нет основания отвергать гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. Если , то гипотезу отвергают.
Задача 4.6. Выборка задана в виде распределения частот:
Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона.
Решение. 1) По формуле найдем объем выборки:
.
Находим шаг .
2) Для нахождения выборочной средней воспользуемся формулой :
.
Выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение находим по формулам и соответственно:
,
.
3) Вычисляем относительные частоты по формуле и таблице Приложений №1, но для начала рассчитаем величину :
.
Тогда
; | ; |
; | ; |
; | ; |
; | . |
4) Сравниваем эмпирические и теоретические частоты и находим по формуле . Для удобства расчетов воспользуемся таблицей 4.1.
Таблица 4.1
6,11 | 4,89 | 23,91 | 3,91 | ||
29,19 | -9,19 | 84,46 | 2,89 | ||
42,50 | 2,5 | 6,25 | 0,15 | ||
19,11 | 4,89 | 23,91 | 1,25 | ||
100 |
Найдем число степеней свободы по формуле : с учетом .
По таблице Приложений №2 находим .
5) Так как (8,2>3,8), то гипотезу о нормальном распределении случайной величины отвергаем, т.е. эмпирические и теоретические частоты различаются значимо.
Ответ. Гипотезу о нормальном распределении отвергаем.
Задание для самостоятельной работы
Задача 4.7. Выборка задана в виде распределения частот:
-3 | |||||
Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины по критерию Пирсона.