Краткая теория
Относительная молекулярная (атомная) масса – отношение массы молекулы (атома) 
данного вещества к 
массы атома углерода 
(изотопа 12С):
.
Моль – количество вещества, в котором содержится столько же молекул или атомов, сколько атомов содержится в 0.012 кг углерода 12С.
В одном моле любого вещества содержится одно и то же число молекул или атомов, которое называется числом (постоянной) Авогадро. Число Авогадро равно
Количество вещества ν – число молей, равное отношению числа молекул N к числу Авогадро:
.
Молярная масса µ – масса одного моля вещества:
,
где – масса одной молекулы; 
– число Авогадро. Поскольку масса вещества – это произведение массы одной молекулы на их количество: 
, то количество вещества равно:
.
Относительная молекулярная масса вещества:
,
где ni – число атомов i -го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; 
– относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева.
Связь молярной массы с относительной молекулярной массой:
.
Давление, производимое газом на стенки сосуда:
,
где n – концентрация молекул; – масса одной молекулы; 
– средняя квадратичная скорость молекул.
Концентрация молекул – число молекул в единице объёма:
.
Средняя квадратичная скорость (по определению):
,
где N – число молекул; суммирование происходит по всем молекулам. Или:
,
где 
– масса молекулы; 
– постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура µ – молярная масса газа; 
– универсальная газовая постоянная.
Универсальная газовая постоянная равна
,
где k – постоянная Больцмана; – число Авогадро.
У равнение состояния идеального газа (уравнениеМенделеева-Клапейрона:
, или 
,
где m – масса газа; µ – его молярная масса; Т – термодинамическая температура; 
– количество вещества; R – универсальная газовая постоянная.
Термодинамическая температура (температура по шкале Кельвина):
,
где t – температура в градусах Цельсия.
Давление газа равно:
,
где k – постоянная Больцмана; n – концентрация молекул, Т термодинамическая температура.
Закон Дальтона. Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в смесь газов:
,
где 
– номер компоненты смеси; 
– её парциальное давление, то есть то давление, которое производил бы данный сорт газа, если бы только один занимал весь объём, равный полному объёму смеси; K – число компонентов смеси.
Массовая доля i-го компонента смеси газов
,
где mi –масса i -го компонента смеси; m – масса смеси.
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
– для давления:
;
– для температуры:
,
где 
– средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа.
Теорема о равнораспределении энергии по степеням свободы. На любую степень свободы приходится в среднем одинаковая энергия, равная
.
Число степеней свободы равно числу независимых координат, однозначно определяющих положение тела (или молекулы) в пространстве. Для одноатомных молекул 
, для двухатомных 
, для произвольных жёстких многоатомных – 
.
Средняя энергия одной молекулы, у которой степеней свободы, равна
.
Внутренняя энергия U идеального газа:
,
где i – число степеней свободы молекул газа.
Примеры решения задач
Пример 4.1. Определить линейные размеры атома железа и его массу. Плотность железа равна 7800 кг/м3, молярная масса равна 0.056 кг/моль.
| Дано: ρ=7800 кг/м3 μ=0.056 кг/моль |
| Найти: d =? m 0=? |
Решение
Число атомов (молекул) в одном моле любого вещества равно числу Авогадро 
. Масса одного атома 
.
Для нахождения диаметра атома будем считать, что атомы в кристаллической решётке упакованы подобно шарикам (рис.4.1), то есть на один атом в среднем приходится объём, приблизительно равный 
. Тогда для плотности: 
. Отсюда 
. Вычисления:
; 
.
Ответ: 
; 
.
Основы термодинамики
Краткая теория
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального одноатомного газа
,
где k – постоянная Больцмана, T – абсолютная температура.
Внутренняя энергия идеального газа равна:
, или
, или
,
где i – число степеней свободы молекул, равное 3 для одноатомного газа; 5 для двухатомного и 6 для многоатомного с нелинейными молекулами; R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, 
– молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме; 
– количество вещества (число молей), m – масса газа, μ – его молярная масса, p – давление газа, V – его объём.
У равнение состояния идеального газа (уравнениеМенделеева-Клапейрона:
, или ,
где m – масса газа; µ – его молярная масса; Т – термодинамическая температура; – количество вещества; R – универсальная газовая постоянная.
Уравнение изотермического процесса (
):
, или 
.
Уравнение изохорического процесса (
):
, или 
.
Уравнение изобарического процесса (
):
, или 
.
Элементарная работа газа при увеличении объёма на 
равна:
,
где р – давление газа.
Работа газа при изменении объёма от V1 до V2:
.
При изобарном процессе работа равна 
.
Теплоемкость тела – это количество теплоты, необходимое для нагревания этого тела на один градус (кельвин):
.
Удельная теплоемкость – это количество теплоты, необходимое для нагревания единицы массы вещества на один градус:
.
Удельная теплоемкость – это количество теплоты, необходимое для нагревания одного моля вещества на один градус:
.
Связь между молярной (С) и удельной (с) теплоемкостями:
,
где μ – молярная масса.
Молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном объёме:
,
где i – число степеней свободы молекул; R – универсальная газовая постоянная. Для одноатомных газов 
.
Молярная теплоёмкость идеального газа при постоянном давлении:
,
где i – число степеней свободы молекул; R – универсальная газовая постоянная. Для одноатомных газов 
.
Уравнение Майера:
.
Количество теплоты, поглощённой в процессах:
– нагревания 
,
– плавления: 
,
– парообразования 
,
где 
– удельная теплоемкость тела, 
– удельная теплота плавления, r – удельная теплота парообразования, m – масса.
Количество теплоты, выделившейся в процессе сгорания топлива:
,
где 
– удельная теплота сгорания топлива, m – его масса.
Первый закон (первое начало) термодинамики: количество теплоты Q, сообщенное системе, идет на увеличение её внутренней энергии 
и совершение этой системой работы 
против внешних сил:
.
Первое начало термодинамики:
– для изохорного процесса 
;
– для изобарного процесса: 
;
– для изотермического процесса: 
;
– для адиабатного процесса: 
.
Коэффициент полезного действия (КПД) тепловой машины:
,
где – полезная работа, совершаемая машиной; 
– количество теплоты, полученное рабочим телом от нагревателя; 
– количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику. Идеальная тепловая машина, работающая по циклу Карно (рис.5.1), при заданных температурах нагревателя 
и охладителя 
, имеет максимальный КПД, не зависящий от природы рабочего тела:
.
 |
Примеры решения задач
Дано:
1) P 1=const
T 2=3 T 1
2) V 2=const
|
| Найти: Q 1=? |
Пример 5.1. Некоторое количество газа (криптон) нагрели при постоянном давлении. Температура газа при этом повысилась в 3 раза. Затем при изохорном охлаждении газ отдал количество теплоты 9 кДж; температура при этом понизилась в 2 раза. Какое количество теплоты было сообщено газу при изобарном процессе?
Решение
1) P 1=const. По первому закону термодинамики для процесса 1-2 (рис.5.2):
.
С учётом условия T 2=3 T 1: 
;
. (1)
2) V 2=const. При изохорном процессе работа не совершается: А 2=0. Тогда из первого закона термодинамики для процесса 2-3:
;
. (2)
Разделим почленно (1) на (2):
.
Отсюда 
.
Ответ: 
.
Электростатика
Краткая теория
· Закон сохранения заряда: в изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех частиц остается неизменной:
.
· Закон Кулона. Сила 
взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов q 1 и q 2 прямо пропорциональна величине каждого заряда и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:
, или 
,
где значение коэффициента k в СИ равно 
; 
– электрическая постоянная, e – диэлектрическая проницаемость среды.
· Диэлектрическая проницаемость среды e показывает, во сколько раз взаимодействие зарядов в среде ослабляется по сравнению с вакуумом:
, или 
,
где F – сила взаимодействия зарядов в среде, F 0 – в вакууме; E – напряжённость поля в среде, E 0 – в вакууме.
· Напряженность электрического поля равна силе, действующей на единичный точечный положительный пробный заряд q, помещенный в данную точку поля:
.
· Сила, действующая на точечный заряд q, помещенный в электрическое поле
.
· Напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от заряда
.
· Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:
а) внутри сферы (r<R) E =0;
б) на поверхности сферы (r = R) 
;
в) вне сферы (r>R) 
.
Здесь e – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
· Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей: напряженность 
результирующего электрического поля, создаваемого несколькими источниками в некоторой точке пространства, равна геометрической сумме напряженностей полей 
, созданных в данной точке каждым источником в отдельности, причем каждая составляющая не зависит от наличия остальных полей:
.
В случае двух электрических полей с напряженностями 
и 
модуль результирующего вектора напряженности (рис.6.1):
,
где a – угол между векторами и (рис.4.1).
· Поверхностная плотность заряда, распределенного по поверхности, есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу площади поверхности:
.
· Линейная плотность заряда, распределенного по нити, есть величина, равная заряду, приходящемуся на единицу её длины:
.
· Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью
,
где s – поверхностная плотность заряда.
· Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью 
заряда (поле плоского конденсатора)
.
Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.
· Потенциал электрического поля в данной точке равен отношению потенциальной энергии, которой обладает положительный точечный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:
.
Иначе: потенциал электрического поля есть величина, равная отношению работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность, к этому заряду:
.
Потенциал электрического поля в бесконечности условно принят равным нулю.
· Работа сил электрического поля при перемещении точечного заряда q из точки с потенциалом 
в точку с потенциалом 
:
.
Для однородного поля A=q∙E∙l∙cosa, где l – перемещение; a – угол между направлениями вектора и перемещения 
.
· Потенциал поля, созданного уединенным точечным зарядом 
на расстоянии 
от заряда, равен
.
· Потенциал электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд q, на расстоянии r от центра сферы:
внутри сферы (r < R) 
;
на поверхности сферы (r = R) 
;
вне сферы (r>R) .
Здесь e – диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу.
· Принцип суперпозиции: потенциал результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных в данной точке каждым из зарядов:
.
· Энергия W взаимодействия системы N точечных зарядов q1, q2,..., qN определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой
,
где 
– потенциал поля, создаваемого всеми (N– 1) зарядами (за исключением i -го) в точке, где расположен заряд qi.
· Связь напряжённости и потенциала. В случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению
,
где j1 и j2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d – расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии.
· Электрическая емкость уединенного проводника
,
где q – заряд, сообщенный проводнику; φ – потенциал проводника.
· Электрическая ёмкость уединенной проводящей сферы радиусом R,находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью ε
.
Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость её от этого не изменяется.
· Емкость конденсатора определяется отношением модуля заряда q на одной обкладке к разности потенциалов U между обкладками:
.
· Электрическая емкость плоского конденсатора
,
где S – площадь пластин (каждой пластины); d – расстояние между ними; ε – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.
· Электрическая емкость С последовательно соединенных конденсаторов в общем случае (N – число конденсаторов)
.
В случае двух конденсаторов 
.
В случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С 1 каждый
.
· Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов в общем случае
C=C 1 +C 2 +...+CN.
В случае N одинаковых конденсаторов с электроемкостью С 1 каждый:
C=N∙C 1.
· Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал φ и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями:
.
· Энергия заряженного конденсатора
где С – электрическая емкость конденсатора, q – его заряд, U – разность потенциалов на его пластинах.
· Объемная плотность энергии – это энергия единицы объема:
.
· Объемная плотность энергии электростатического поля напряжённостью Е равна:
.
Примеры решения задач
Пример 6.1. Три одинаковых положительных заряда Q 1= Q 2= Q 3=1 нКл расположены по вершинам равностороннего треугольника (рис. 6.2). Какой отрицательный заряд Q 4 нужно поместить в центре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороны уравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?
Решение
| Дано: Q 1= Q 2= Q 3=1 нКл |
| Найти: Q 4=? |
Все три заряда, расположенных по вершинам треугольника, находятся в одинаковых условиях, поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например Q 1, находился в равновесии.
В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд Q 1 будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:
, (1)
где 
– силы, с которыми действуют на заряд Q1 заряды Q2, Q3 и Q4 соответственно; 
– равнодействующая сил 
и 
.
Так как силы и 
направлены по одной прямой, то из векторного равенства (1) следует равенство величин:
F4 = F. (2)
По теореме косинусов с учётом, что F3 = F2, получим
,
где α=1200, так как треугольник – равносторонний. Тогда
(3)
Применяя закон Кулона и имея в виду, что Q2 = Q3 = Q1, найдем
; 
(4)
Из (2), (3) и (4) получим
,
. (5)
Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что
.
С учетом этого формула (5) примет вид:
.
Подставив сюда значение Q1, получим Q4 =0,58нКл.
Ответ: Q4 =0,58нКл. Равновесие системы зарядов будет неустойчивым.
Пример 6.2. Найти работу А поля по перемещению заряда Q =10 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 6.3). Точки находятся между двумя разноименно заряженными бесконечными параллельными плоскостями, расстояние l между которыми равно 3 см. Поверхностная плотность заряда плоскостей s =0,4 мкКл/м2.
| Дано: Q =10 нКл s =0,4 мкКл/м2 l =3 см |
| Найти: А =? |
Решение
Возможны два способа решения задачи.
1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки 1 поля с потенциалом j1 в точку 2поля с потенциалом j2 найдем по формуле
A = Q (j1–j2). (1)
Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение
j1–j2 = E∙l, (2)
где Е – напряженность поля; l – расстояние между эквипотенциальными поверхностями.
Напряженность поля между параллельными бесконечными разноименно заряженными плоскостями E =s/e 0. Подставив это выражение Е в формулу (2) с учётом (1), получим
.
2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд Q при его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле
A = F∙Dr∙ cosa, (3)
где F – сила, действующая на заряд; D r – модуль перемещения заряда Q из точки 1 в точку 2;a – угол между направлениями перемещения и силы. Сила равна
. (4)
Заметив, что D r∙ cosa= l, из (3) и (4) получим
. (5)
Оба решения приводят к одному и тому же результату. Подстановка:
.
Ответ: A =13,6мкДж.
Пример 6.3. Электрон со скоростью υ =1,83×106 м/с влетел в однородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы иметь энергию Ei =13,6 эВ? (Обладая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его.)
| Дано: υ =1,83×106 м/с Ei =13,6 эВ |
| Найти: U =? |
Решение
Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией 
, которой обладал электрон перед вхождением в поле, составила энергию, равную энергии ионизации Ei, т. е. W+ =Ei. Выразив в этой формуле W=e∙U и 
, получим e∙U + 
= Ei. Отсюда
.
Электрон-вольт (эВ) – энергия, которую приобретает частица, имеющая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В:
1 эВ=1,6·10-19 Дж.
Вычисления (здесь m =9.1.10-31 кг – масса электрона; е =1.6.10-19 – элементарный заряд, то есть модуль заряда электрона):
В.
Ответ: U =4.15 В.
Пример 6.4. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости С 1 =С 2 =С соединены в батарею последовательно и подключены источнику тока с электродвижущей силой ε. Как изменится разность потенциалов U 1 на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью 
=7?
| Дано:
С 1 =С 2 =С
=7
|
Найти:
|
Решение
До заполнения второго конденсатора диэлектриком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: U 1= U 2 =ε/ 2. После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в ε раз:
.
Электроемкость С первого не изменилась, т. е. 
.
Так как источник тока не отключался, то общая разность потенциалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе
, (1)
где Q – заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последовательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, то
Q=Cбатε,
где 
– ёмкость батареи. Таким образом,
.
Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем
.
Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пластинах первого конденсатора, вычислим отношение:
.
Ответ: Разность потенциалов возросла в 1,75 раза: 
.
Пример 6.5. Конденсатор электроёмкостью C 1=3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U 1 = 40 В. После отключения oт источника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаряженным конденсатором электроемкостью С 2 = 5 мкФ. Определить энергию Δ W, израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора.
Решение
| Дано: C 1=3 мкФ U 1 = 40 В С 2 = 5 мкФ |
| Найти: Δ W =? |
Энергия, израсходованная на образование искры, равна
Δ W = W 1– W 2 (1)
где W 1 – энергия, которой обладал первый ко