Работа силы: от точки a до b

Изолированная (замкнутая) система – мех. система тел, на которую не действуют внешние силы.

Импульс: .

Импульс системы: .

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

.

Однородность пространства – заключается в том, что при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы тел ее физ. свойства и законы движения не изменяются, т. е. не зависит от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

 

Реактивная сила: , где – скорость истечения газов относительно ракеты.

Уравнение Мещерского И. В. ;

Пологая и считая, что скорость выбрасываемых газов постоянна, получим:

или

Это соотношение называется уравнение Циолковского.

 

Энергия – скалярная физ. величина, являющаяся единой мерой различных форм движения материи и мерой перехода движения материи из одних форм в другие.

Виды энергии – механическая, внутренняя, тепловая, электромагнитная, ядерная.

Работа силы: от точки a до b

, т. е. равна площади фигуры от a до b.

Мощность: или .

Кинетическая энергия мех. системы – энергия мех. движения этой системы.

, используя второй закон Ньютона:

и умножая обе части на перемещение, получим: , .

 

Потенциальная энергия – мех. энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Консервативными называются силы, работа которых зависит от начального и конечного положения и не зависит от траектории.

Потенциальная энергия: ,

.

Потенциальная энергия упругодеф. пружины:

.

 

 

Закон сохранения энергии:

Рассмотрим систему мат. точек с массами со скоростями . Пусть – равнодействующие внутренних консерв. сил, действующих на точки, а – равнодействующая внешних консерв. сил. Равнодействующие внешних неконсерв. сил: .

По второму ур. Ньютона:

,

. Умножим каждое из ур. скалярно на соответствующее перемещение, учитывая, что и просуммируем:

;

Первый член равен:

;

Второй член равен: ,.

Правая часть задает работу внешних консервативных сил. Получаем: .

Если внешние неконсерв. силы отсутствуют, то получим:

, т. е. полная мех. энергия системы сохраняется постоянной.

 

Закон сохранения связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физ. законов относительно выбора начала отсчета времени.

Закон сохранения мех. энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная мех. энергия сохраняется, т.е. не изменяется со временем.

Диссипация – процесс постепенного уменьшения мех. энергии за счет преобразования в другие формы энергии.

 

Удар – это столкновение двух и более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время.

Коэф. восстановления – отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара .

Если для сталкивающихся тел , то такие тела называются абсолютно неупругими, если – абсолютно упругими.

Линия удара – прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения.

Удар называется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры.

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в результате которого в обоих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия после удара снова превращается в кинетическую.

;

.

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое.

.

«Потеря» кинетической энергии:

.

.

Моментом силы F относительно неподвижной точки О наз. физ. величина, определяемая векторным произведением радиуса вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на силу : ,

Модуль момента силы: , где – кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой – плечо силы.

Моментом импульса материальной точки относительно неподвижной точки О наз. физ. величина, определяемая векторным произведением: , где – радиус-вектор проведенный из точки в точку .

Модуль момента импульса: .

 

Моментом силы относительно неподвижной оси называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки данной оси . Значение момента не зависит от выбора положения точки на оси .

 

Моментом импульса относительно неподвижной оси называется скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки данной оси . Значение момента не зависит от выбора положения точки на оси .

 

 

Закон сохранения момента импульса:

При вращении материальной точки или системы материальных точек вокруг неподвижной оси момент импульса отдельной частицы: .

Момент импульса системы материальных точек относительно оси: .

Продифференцировав по времени получим: , т. е. .

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда .

Это выражение представляет собой закон сохранения импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Этот закон является следствием изотропности пространства (одинаковости свойств пространства по всем направлениям).

 

 

Моментом инерции системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси: .

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу .

 

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой оси вращения определяется теоремой Штейнера: , где – расстояние между осями.

 

Кинетическая энергия вращательного тела:

.

Работа при вращении тела:

.

 

 

Механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют одинаковую форму.

Док – во:

Пусть система координат (с координатами и ) неподвижна, а система (с координатами и ) движется относительно равномерно и прямолинейно со скоростью . Радиус-вектор, проведенный из О в О₁ . Связь между произвольной точкой А в обеих системах: .

Продифференцировав по времени получим: . Ускорение в системе : .

 

Специальная теория относительности:

Предполагается, что время однородно, а пространство изотропно и однородно.

Постулаты Эйнштейна:

1). Принцип относительности: никакие опыты, проведенные внутри данной инерциальной системы отсчета, не дают возможность обнаружить, покоится ли эта система или движется равномерно и прямолинейно; все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой.

2). Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

 

– преобразования Лоренца.

Релятивистский закон сложения скоростей:

Длительность события: .

Длина тела: .

Масса тела: .

 

Основной закон релятивистской механики:

где – релятивистский импульс материальной точки.

 

Энергия: .

Кинетическая энергия:

.

Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например, атомное ядро):

, где –масса покоя -й частицы в свободном состоянии; – масса покоя системы, состоящей из частиц.

 

Соотношение между полной энергией и импульсом: .

 

 

Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Колебания называются свободными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Гармонические колебания – колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (косинуса).

Характеристики гармонических колебаний:

Период: .

Частота – число полных колебаний в ед. времени: .

 

Вывод диф. уравнения гармонических колебаний:

, тогда скорость равна

, а ускорение –

Следовательно

 

 

Пружинный маятник – это груз массой , подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под воздействием упругой силы.

Уравнение движения пружинного маятника:

 

 

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол , то момент возвращающей силы равен: (где I – момент инерции маятника относительно какой-то оси, - расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника, - возвращ. сила (“-” обозначает, что направление и всегда противоположны)). При малых колебаниях физич. маятник совершает гармонич. колебания с циклич. частотой и периодом , где - приведенная длина физич. маятника.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Момент инерции математического маятника . Так как вся масса матем. маятника сосредоточена в одной точке – центре масс, то период маятника равен Приведенная длина математического маятника – это длина такого математич. маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний