Маятник
К колебательным системам относят различные маятники (математические, физические, пружинные).
Маятник – твердое тело, подвешенное на нити или на пружине или закрепленное на оси, совершающее колебание под действием силы тяжести.
Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, находящаяся в поле тяжести Земли.
Пружинный маятник – тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной оси под действием силы упругости пружины (рис.3).
Для математического маятника характерны такие внутренние силы, как сила тяжести и сила натяжения нити, а для пружинного маятника – сила тяжести и сила упругости пружины.
Выражение для определения периода колебания математического маятника записывается как (формула)
откуда следует, что период данного маятника зависит только от длины маятника и удалённости от центра Земли, которое характеризуется значением ускорения свободного падения g.
Уравнение для определения периода колебания пружинного маятника имеет вид:
формула
Где m – масса материальной точки, k – коэффициент упругости пружины, который определяется из закона Гука:
Все колебательные системы характеризуются общими свойствами:
1. Наличие положения устойчивого равновесия, при котором равнодействующая сила равна нулю.
2. Хотя бы одна сила должна иметь зависимость от координаты.
3. Наличие в колеблющемся теле избыточной энергии.
Чтобы колебания совершались долго, надо чтобы силы трения были как можно меньше, иначе колебания прекратятся. Отсюда следует, что свободные колебания – это затухающие колебания.
Существует аналитическое и графическое описания колебаний как процесса, происходящего во времени. Для аналитического описания колебательного движения тела задается функция
отображающая зависимость смещения x от времени t:
График этой функции наглядно дает представление о протекающем процессе колебаний во времени:
Закон сохранения энергии при колебательном движении
Рассмотрим колебательное движение математического маятника (Рис. 1). Известно, что маятник, как и всякая колебательная система, производит колебания до тех пор, пока обладает энергией.
Если тело маятника отклонить от положения равновесия, то колебательная система получит начальную энергию, которая равна потенциальной энергии тела:
Если отпустить маятник, произойдет увеличение скорости тела маятника, а значит, и увеличение его кинетической энергии:
Если потери энергии на преодоление сил трения или сопротивления чрезвычайно малы и ими можно пренебречь, то, согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия маятника будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела:
Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, т.е. взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости.
Следует отметить, что кинетическая и потенциальная энергии колебательной системы изменяются с течением времени с заданным периодом. Период их изменения в два раза меньше периода колебаний системы.
Если маятник будет расположен в самых крайних положениях, то полная энергия колебательной системы будет определяться только потенциальной энергией. При прохождении положения равновесия энергия системы будет определяться уже максимальной кинетической энергией тела.
Рассмотрим графики колебательного процесса маятника (Рис. 2).
При допущении, что силами трения и сопротивления можно пренебречь, в случае свободных колебаний система (маятник) получает энергию лишь в начальный момент времени, а дальше полная энергия колебательной системы не меняется, как и амплитуда колебаний (кривая 1). В этом случае в каждый момент времени полная механическая энергия, равная сумме потенциальной и кинетической энергий тела, остается постоянной. То есть при любых процессах, происходящих в консервативной системе, ее полная механическая энергия остается неизменной.
Но обычно в реальных колебательных системах мы наблюдаем различные силы трения, сопротивления среды. Поэтому энергия реальной колебательной системы будет уменьшаться с течением времени из-за присутствия данных сил. Например, механическая энергия будет расходоваться на совершение работы по преодолению силы сопротивления воздуху. Амплитуда колебаний при этом уменьшится, а со временем колебания затухнут (кривая 2). Такие колебания получили название затухающие колебания. Свободные колебания всегда являются затухающими.
Если на практике в колебательной системе действуют значительные силы трения и сопротивления среды, то механическая энергия системы может быть израсходована уже за один период колебания, и колебания в этом случае уже не будут периодическими (кривая 3).
Также на колебательную систему может воздействовать некая периодическая сила извне, так называемая вынуждающая сила. Например, движение качелей, которые кто-то раскачивает, в этом случае мы наблюдаем вынужденные колебания.
Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся переменной силы. Частота вынужденных колебаний совпадает с частотой изменения внешней силы.
При совпадении частоты изменения прилагаемой к системе внешней силы и собственной частоты колебаний системы возникает явление резонанса.
Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний системы при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте этой системы.
Вынужденные колебания по сравнению со свободными оказываются незатухающими, так как при вынужденных колебаниях система получает энергию от источника внешней силы непрерывно. Данная энергия восполняет потери, связанные с необходимостью преодолевать силы трения (сопротивления), и поэтому вынужденные колебания будут незатухающими.
Краткие итоги по теме урока
Если потери энергии на преодоление сил трения или сопротивления чрезвычайно малы и ими можно пренебречь, то, согласно закону сохранения энергии, полная механическая энергия маятника будет равна сумме кинетической и потенциальной энергий тела и останется неизменной.
Кинетическая и потенциальная энергии тела при колебательном процессе переходят друг в друга: если маятник расположен в самых крайних положениях, то полная энергия колебательной системы будет определяться потенциальной энергией, а при прохождении положения равновесия – энергия системы будет определяться максимальной кинетической энергией тела.
Энергия реальной колебательной системы будет уменьшаться с течением времени из-за присутствия в ней сил трения и сопротивления.