Криволинейные интегралы второго рода

Криволинейные интегралы

Криволинейные интегралы первого рода

Криволинейный интеграл представляет собой обобщение определенного интеграла на случай, когда функция задана не на отрезке , а на кривой .

Пусть задана непрерывная плоская спрямляемая кривая , в каждой точке которой определена непрерывная функция . Разобьём кривую точками на элементарных дуг, выберем на каждой такой дуге произвольно точку , вычислим значения . Умножим это значение на длину частичной дуги и составим интегральную сумму

Если при стремлении к нулю эта интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом первого рода от функции , взятым по кривой , и обозначается

(1)

Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от направления кривой . К криволинейным интегралам первого рода естественно приводят задачи, связанные с массами, непрерывно распределенными вдоль некоторой кривой. Так, если в каждой точке материальной кривой задана линейная плотность , то масса всей кривой равна

. (2)

Аналогично для пространственной кривой

Длина дуги находится по формуле

(3)

Криволинейный интеграл первого рода сводится к обыкновенному определенному интегралу.

Пусть плоская кривая задана параметрическими уравнениями

, ,

где функции непрерывны и непрерывно дифференцируемы. Предположим также, что на кривой нет кратных точек. Тогда (см. приложения определенных интегралов) кривая спрямляема и

. (4)

Здесь предполагается, что возрастание дуги соответствует возрастанию параметра . Переходя в интеграле (1) к переменной , получим

(5)

Таким образом, для вычисления криволинейного интеграла первого рода надо в подынтегральной функции заменить их параметрическими представлениями, а дифференциал дуги заменить по формуле (5).

Если кривая задана явным уравнением (в роли параметра – переменная ), то формула (5) принимает вид

(6)

Основные свойства криволинейных интегралов первого рода аналогичны свойствам определенного интеграла.

Пример 1. Вычислить интеграл , где – контур треугольника с вершинами .

Решение. Линия состоит из трех прямолинейных отрезков и . Поэтому представим интеграл в виде суммы . Вычислим последовательно

;

Значит, . ☻

Пример 2. Вычислить интеграл , где – лежащая в первом квадранте четверть эллипса .

Решение. Используем параметрическое задание эллипса

Находим и по формуле (4) подсчитаем :

По формуле (5) запишем

Множитель наталкивает на мысль перейти к двойному углу:

Подынтегральная функция подсказывает замену:

Получаем

. ☻

Пример 3. Найти длину дуги пространственной кривой от точки до точки .

Решение. Точке соответствует значение параметра , для точки параметр . Найдем . Для пространственной кривой вычислим по формуле, аналогичной формуле (4):

Длину дуги найдем по формуле (3):

. ☻

Пример 4. Найти массукривой , если линейная плотность в каждой точке равна .

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (2), вычислим

. По условию .

Массу кривой найдем по формуле (2)

. ☻

Криволинейные интегралы второго рода

Рассмотрим непрерывную кривую , в каждой точке которой задана непрерывная функция . Разобьем кривую точками на частей, выберем на каждой частичной дуге произвольную точку и вычислим в этой точке значение функции . Но это значение мы умножим на этот раз не на длину дуги, а на величину проекции этой дуги, например, на ось абсцисс, т.е. на . Составим интегральную сумму

Если при стремлении к нулю эта сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой, ни от выбора точек , то этот предел называется криволинейным интегралом второго рода от по кривой (по пути) и обозначается символом

. (1)

Аналогично можно получить криволинейный интеграл второго рода от :

(2)

Если вдоль определены две функции и , то приходим к криволинейному интегралу

(3)

Так как проекция дуги на ось зависит от направления дуги и меняет знак с изменением этого направления, то для интеграла второго рода

и .

С точки зрения механики интеграл представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую .

Аналогично вводится криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой:

Пусть кривая задана параметрическими соотношениями

причем функции непрерывны, а при изменении параметра от до кривая описывается именно в направлении от точки к точке . Если речь идет об интеграле (1), то дополнительно требуется непрерывность производной , для интеграла (2) – непрерывность производной . При этих предположениях криволинейный интеграл второго рода существует и сводится к определенному интегралу

(4)

(5)

Порядок расстановки пределов соответствует выбранному на кривой направлению.

В частном случае, когда кривая задана явным уравнением (в роли параметра – переменная ), причем перемещение из в происходит при изменении от до , формула (4) принимает вид

(6)

Аналогично, если , то формула (5) принимает вид

(7)

Пример 1. Вычислить интеграл , где кривая – верхняя половина окружности радиуса с центром в начале координат, начало пути – точка .

Решение. Параметрические уравнения заданной кривой

Точке соответствует значение параметра , для точки параметр . Находим . По формулам (4) и (5) запишем

Вычислим ;

. Значит, . Заметим, что если бы путь интегрирования начинался в точке , то получили бы результат с противоположным знаком:

. ☻

Пример 2. Вычислить интеграл , где , а кривая определяется уравнением 1) , 2) , 3) ; 4) .

Решение. 1) Вдоль линии

(в роли параметра – ).

Значит, .

2) Вдоль линии . Поэтому .

3) Вдоль линии (в роли параметра – ). Получаем

4) Путь интегрирования состоит из двух участков, значит, .

а) Вдоль отрезка и .

б) Вдоль отрезка и .

Получаем

Результаты вычисления получились различными для разных путей интегрирования. ☻

Теорема. Пусть в односвязной области функции определены и непрерывны вместе со своими производными . Для того чтобы интеграл не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы подынтегральное выражение было полным дифференциалом.

Теорема. Припредположениях предыдущей теоремыдля того, чтобы выражение было полных дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия

. (8)

Пример 3.. Вычислить интеграл при условиях примера 2.

Решение.

1) Вдоль линии ; ;

2) Вдоль линии ; ;

3) Вдоль линии ; ;

4) Вдоль отрезка и ,

вдоль и .

А в этом примере результат вычисления не зависит от выбора кривой, потому что здесь – выполнено условие (8). Значит, подынтегральное выражение есть полный дифференциал. Можно было сразу записать:

. ☻

Пример 4. Найти работу, производимую силой тяжести при перемещении материальной точки массы из точки в точку .

Решение. Сила тяжести есть вектор-функция , здесь , – ускорение свободного падения. Работа вычисляется с помощью криволинейного интеграла второго рода:

Заметим, что подынтегральное выражение есть полный дифференциал: (выполнено условие ), поэтому интеграл не зависит от пути интегрирования. Выберем путь из точки в точку по ломаной, звенья которой параллельны координатным осям (см. пример 2 путь (4)). Например, возьмем ломаную , где .

Теперь . Вдоль пути имеем , поэтому . Вдоль : поэтому . Работа равна . ☻

Пример 5. Вычислить интеграл .

Решение. В условии не задан путь интегрирования, а заданы лишь начальная и конечная точки. Убедимся, что результат не зависит от пути. Здесь

Условие (8) выполнено. Поэтому имеем право выбрать наиболее удобный путь интегрирования – например, ломаную . Вдоль первого звена этой ломаной и . Вдоль второго звена и . Значит, .

Можно было заметить сначала, что и записать ☻

Покажем на примере, как восстановить функцию по ее полному дифференциалу .

Пример 6. Восстановить функцию по ее полному дифференциалу .

Решение. Убедимся сначала, что задан действительно полный дифференциал некоторой функции. У нас

Условие выполнено. По определению, дифференциал функции двух переменных , поэтому для восстановления функции имеется два условия:

. ,

Начнем с условия .

Заметим, что при восстановлении первообразной функции одной переменной по ее производной получаем результат с точностью до постоянного слагаемого . Сейчас мы восстанавливаем функцию двух переменных по одной из ее частных производных (здесь – по ), поэтому получаем результат с точностью до слагаемого , зависящего от другой переменной.

Таким образом, появилась неизвестная функция . Для ее определения послужит условие . С одной стороны, вычислим частную производную от функции : . С другой стороны, в силу условия , . Из равенства получаем . Значит, функция принимает вид .

Можно начинать с условия , тогда условие служит для определения функции , появившейся в результате интегрирования по переменной .

Возможен еще один способ решения. Из условий и находим

Сравним полученные выражения для :

Значит, . ☻

Формула Грина

Формула Грина связывает криволинейный интеграл по границе некоторой области с двойным интегралом по этой области:

(1)

Формула Грина справедлива в следующих предположениях:

– конечная односвязная область, – ограничивающий эту область простой кусочно-гладкий контур, функции и их производные непрерывны в замкнутой области . При этом граница пробегается в положительном направлении (то есть так, что область остается слева).