Тема 3. Решение систем уравнения

Раздел 6. Уравнения и неравенства.

Тема1. Решение уравнений.

Уравнение – это равенство с переменной.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать что их нет.

Корень уравнения – это значение переменной, при подстановки которого уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения, имеющие одно и тоже множество корней называются равносильными.

Пример1: (х – 2) (х +4)= 0 и 3х – 6 = 0

Корни: х₁ = 2, х ₂= - 4 и х = 2.

Вывод: уравнения не равносильные.

Пример 2. Уравнения Х ² = -9 и не имеют корней, следовательно они равносильны.

Чтобы проверить равносильность уравнения, надо найти их корни и сравнить.

Равносильность сохраняется при:

· Тождественных преобразованиях (раскрытие скобок, приведение подобных….)

· При умножении и делении обеих частей уравнения на число,

неравное 0.

· При переносе слагаемых из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный.

Посторонний корень может быть:

· При умножении обеих частей уравнения на выражение с переменной

· При возведении обеих частей уравнения в чётную степень.

Потеря корня может быть при делении обеих частей уравнения на выражение с переменной

Вид уравнения	Алгоритм решения	Пример
Линейное	1) Перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. 2) нахождение неизвестного компонента	3х – 7 = 5х + 5 Решение: 3х – 5х = 5 + 7 -2х = 12 х = 12: (-2) х = -6. Ответ: - 6.
Дробное	1) Найти ОДЗ 2) Найти общий знаменатель 3) Найти дополнительный множитель к каждой дроби 4) «Отбросить» знаменатель и решить получившееся уравнение 5) Выполнить проверку	Решение: ОДЗ: или х = 0 или х = 1 – посторонний корень (см ОДЗ). Ответ: х = 0.
Квадратное	, ()	. Решение: Ответ: 5 и -1.
Неполное квадратное (если с = 0)	или	. Решение: 3х = 0 или 2х – 1 = 0 х = 0 или 2х = 1 . Ответ: 0 и 0,5.
Неполное квадратное (если b = 0)		Решение:   Ответ:

Задание 1. Равносильны ли следующие уравнения:

А) х (х-6) + 10 = 1 и 2(х + 4) = 14 б) 1 + х (х – 4) = - 3 и 3(х – 1) = 3

Задание 2.

(Из учебника, стр 295): № 130 (в), № 131 (в), № 136 (в), № 140 (в).

Тема 2. Решение неравенств.

неравенства	знаки	Точка	Скобки
строгие	< или >		()
нестрогие	или

Неравенства, имеющие одно и тоже множество решений, называются равносильными.

Пример 1. Равносильны ли неравенства: 2х > 10 и -3х < -15.

Решаем первое неравенство: х >5, решаем второе неравенство: х > 5 (знак неравенства меняется при делении или умножении на отрицательное число).

Вывод: неравенства равносильные.

Вид неравенства	Алгоритм решения	Пример
Линейное	Перенос слагаемых из одной части неравенства в другую	Решение: . Знак неравенства меняется при делении на отрицательное число! -11 Ответ:
Дробное Квадратное	Метод интервалов: 1)Найти ОДЗ 2)ввести функцию у = f(x) 3)f(x)=0 4)корни уравнения и точки исключения (см. ОДЗ) отметить на прямой и разбить на интервалы 5)Найти знак в каждом интервале (подставить удобное число в функцию) 6)Выбрать «нужные» промежутки (см. знак неравенства)	1) Решение: ОДЗ: R. Рассмотрим функцию , 0,5 1 + - +   Ответ: 2) Решение: ОДЗ: . Функция: , -2 0 + - + Ответ: (-2; 0)

 

Задание 1. Равносильны ли следующие неравенства:

А) (х – 2)(х + 4) < х (х +9) и 2х + 4 < -5х – 4

 

Б) х (х+8) > (х +3)(х – 2) и 2х – 9 > 9х – 3.

 

Задание 2.

(Из учебника, стр 295): № 133 (в), № 142 (в), № 143 (в)

Тема 3. Решение систем уравнения

Метод сложения: .

Сложим первое и второе уравнения, получим: . Ответ: (2; 0).

 

Метод подстановки: .

Выразим у из второго уравнения и подставим в первое, получим: . Ответ: (2; 0).

Графический метод: .

Решение: 1) Построим график функции - показательная функция

х	-2	-1
у

2) Построим график функции у = 1 – 2х – линейная функция

Решением системы является точка пересечения графиков.

Ответ: (0; 1).

Задание 1. (Из учебника, стр 301): № 180.