Нахождение производных и нахождение неопределенных интегралов
(дифференцирование и интегрирование) – это два взаимно обратных действия,
как, например, сложение/вычитание или умножение/деление]
1. Понятие неопределенного интеграла
Опр. 1. Функция 
называется первообразной функции 
на интервале (a; b), если в любой точке этого интервала верно равенство:
.
Первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много, c точностью до константы С - числа, т.к. 
.
Опр. 2. Неопределенным интегралом функции f (x) называется множество всех ее первообразных функций F (x) + C. Обозначается:
.
Здесь f (x) называется подынтегральной функцией, 
– подынтегральным выражением,
х – переменной интегрирования, 
– знаком неопределенного интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.
2. Таблица неопределенных интегралов
Посмотрим в таблицу интегралов.
Что происходит? Левые части 
у нас превращаются в другие функции (справа): 
.
Тогда:
Найти неопределенный интеграл – это значит ПРЕВРАТИТЬ его в определенную функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.
Возьмем, например, табличный интеграл 
. Что произошло? 
превратился в функцию 
.
Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы по таблице, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл превращается именно в . Пока можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны [1]:))).
Таблица интегралов
1. 
2. 
3. 
частные случаи:
3а)  ,
3б)  .
4а) 
4в) 
5а) 
6) 
| обобщенные интегралы
9) 
10) 
11) 
12) 
4б)
4г) 
5б) 
7) 
8) 
|
Если продифференцировать правильный ответ, то обязательно должна получиться исходная подынтегральная функция, смотрите:
+ с
А значит,
.
3. Свойства неопределенного интеграла. Методы интегрирования. Примеры нахождения интегралов
1. Постоянный множитель (числовой) можно выносить за знак интеграла: 
, где постоянная 
.
2. Неопределенный интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: 
, где u, v, w – некоторые функции от х.
Примеры. Найдите интегралы:
а) 
; б) 
.
Решение: а)
Ответ: 
.
Применяли правило 
. Не забывали записать значок дифференциала 
в каждом интеграле. Почему в каждом ? – это полноценный множитель при раскрытии скобки. Кстати, константу С достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
б)
Ответ: 
3. Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором интеграл с помощью свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований подынтегральной функции приводится к табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.
Примеры:
а) Деление многочлена, стоящего в числителе, на знаменатель.
.
б) Использование формул тригонометрии.
.
в) 
.
г) Приведение подынтегральной функции к табличным интегралам.
.
д) 
.
8) 
