ЗАДАНИЕ № 1
ВИЗУАЛИЗАЦИЯ
студентки 1 курса 103 группы
направления 22.04.01 «Материаловедение и технологии материалов»,
профиль «Нанотехнологии, диагностика и синтез современных материалов»
факультета нано - и биомедицинских технологий
Беглецовой Надежды Николаевны
Преподаватель,
| профессор, д.т.н., доцент | В.В. Симаков | |||
| должность, уч. ст., уч. зв. | личная подпись, дата | инициалы, фамилия |
Саратов 2017
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. 3
1 Теоретическая часть. 5
2 Практическая часть. 9
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 15
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.. 16
ВВЕДЕНИЕ
LabVIEW (Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench) – среда разработки прикладных программ, созданная фирмой National Instruments (США) [1]. Данная программа представляет собой современную платформу для графического программирования, которая помогает как студентам вузов, так и инженерам реализовывать различные проекты. В данной среде разработки сочетается лучшая на сегодняшний день интеграция программно-аппаратных компонентов с последними компьютерными технологиями. LabVIEW содержит все инструменты для решения современных и актуальных задач, с огромным потенциалом для инноваций, будущего успеха и эффективности [2].
LabVIEW – это программа, с помощью которой можно осуществлять решение задач различной уровни сложности, используя всю необходимую линейку математических операций, заложенных в программу. По полученным данным она может осуществлять построение графиков в любой системе координат. При этом возможно построение как XY графиков, так и 3D графиков, которые позволяют визуализировать протекание различных физических процессов.
Цель работы: приобрести практические навыки и опыт визуализации многомерных данных на примере построения поверхностей в трехмерном пространстве.
Задание:
1. определить волновую функцию электрона для атомной орбитали 
на основе водородоподобной модели атома для определенных значений побочного квантового числа l = (s = 0, p = 1, d = 2, f = 3, g = 4, h = 5,...) и магнитного квантового числа m = (0, ±1, ±2,... ±l);
2. визуализировать угловое распределение вероятности нахождения электрона в области пространства 
в сферической системе координат.
3. определить радиальную часть волновой функции электрона 
и построить радиальное распределение вероятности нахождения электрона на расстоянии r от ядра 
.
Теоретическая часть
Основным уравнением движения частицы в квантовой механике является уравнение Шредингера, которое записывается в виде формулы (1) [3]:
 ,
| (1) |
где 
– приведенная постоянная Планка, равная 1,054∙10-34 кг∙м2∙c-1;
m – масса частицы, кг;
– оператор Лапласа;
– волновая функция (пси-функция);
U – потенциальная энергия частицы, Дж;
Е – полная энергия частицы, Дж.
В сферической системе координат волновая функция частицы имеет вид, записанный по формуле (2) [4]:
 ,
| (2) |
где – радиальная часть волновой функции;
– угловая часть волновой функции;
n – главное квантовое число;
l – орбитальное квантовое число;
m – магнитное квантовое число;
r – кратчайшее расстояние от точки до начала координат;
– зенитный угол (от 0 до π);
– азимутальный угол (от 0 до 2π).
Радиальная часть волновой функции может быть записана в виде формулы (3):
| (3) |
где ρ – радиальный фактор, 
;
r – кратчайшее расстояние до начала координат;
а – радиус первой Боровской орбиты, равный 0,53 Å
Z – атомный номер;
n – главное квантовое число;
l – орбитальное квантовое число;
– полиномы Лагерра.
Связанные полиномы Лагерра находятся по формуле (4):
| (4) |
где полиномы Лагерра находятся по формуле (5):
| (5) |
Связанные полиномы Лагерра перепишем в виде формулы (6):
| (6) |
где 
Таким образом, получим формулу (7):
| (7) |
Подставив уравнение (7) в (3), получим формулу (8):
| (8) |
Переписав 
в виде 
и подставив 
в формулу (8) получим формулу для нахождения радиальной части волновой функции, которая может быть записана в виде (9):
| (9) |
По заданию варианта № 15 дана: f -орбиталь (l = 3, m = 1), химический элемент плутоний Pu (Z = 94, n = 5).
Тогда радиальная часть волновой функции будет иметь вид (10):
| (10) |
Пусть 
тогда переписав формулу (10), получим рабочую формулу (11) для радиальной части:
| (11) |
Угловая часть волновой функции может быть записана в виде 
∙ 
где зависимость 
имеет вид (12):
| (12) |
где 
– присоединенные многочлены Лежандра, которые находятся по формуле (13):
 .
| (13) |
Подставив формулу (13) в (12), получим формулу (14):
| (14) |
Зависимость 
∙ имеет вид (15):
 .
| (15) |
Подставив в выражение 
формулы (14) и (15), получаем формулу (16):
 .
| (16) |
По причине комплексного характера функций 
их графическое изображение при m ≠ 0 весьма затруднительно. Тогда, можно перейти к действительным линейным комбинациям этих функций, которые уже легко изобразить в том или ином виде [5]. Представим функцию в виде линейной комбинации, записанной в виде (17):
 .
| (17) |
Подставив значения l = 3 и m = 1 в формулу (17), получим формулу (18):
 .
| (18) |
Для нахождения значений 
и 
необходимо подставить значения l = 3 и m = 1 в формулу (16), тогда получим формулу (19):
 = –  ∙sinθ∙  ∙  ,
 ∙sinθ∙ ∙  .
| (19) |
Подставим формулу (19) в (18), получим рабочую формулу (20) для угловой части волновой функции:
 =  ∙sinθ∙cosφ∙ .
| (20) |
Практическая часть
По заданию 2 визуализируем угловое распределение вероятности нахождения электрона в области пространства в сферической системе координат. Кликом правой кнопки мыши на передней панели (Front Panel) вызовем диалоговое окно Controls. Из него выберем 5 контроллеров Modern → Numeric → Numeric Controls: xmax, xmin – соответствуют углу (от 0 до π), ymax, ymin – соответствуют углу (от 0 до 2π), N1 – кол-во повторений. Вставим на панели Block Diagram из окна Functions → Programming → Structures → два блока For Loop и проведем математические операции (рисунок 1).
Рисунок 1 – Вставка Numeric Controls, For Loop и выполнение математических операций
Вставим на панели Block Diagram из окна Functions → Programming → Structures → два блока For Loop (осуществим цикл в цикле) и реализуем в нем рабочую формулу (20) для нахождения 
(рисунок 2).
Рисунок 2 – Вставка блоков For Loop и реализация рабочей формулы (20) для нахождения 
На Front Panel выбираем из окна Controls → Modern → Graph → 3D Surface Graph, выполняем необходимые связи и на панели Block Diagram создаем индикатор «Выходной массив». Таким образом, на панели Block Diagram приведена полная схема программы (рисунок 3).
Рисунок 3 – Изображение программы на панели Block Diagram
На Front Panel вводим необходимые значения: xmax = 3,14; xmin = 0; ymax = 6,28; ymin = 0; N1 = 120. Получим изображение f -орбитали (l = 3, m = 1) (рисунок 4).
Рисунок 4 – Изображение f -орбитали
По заданию 3 построим радиальное распределение вероятности 
нахождения электрона на расстоянии r/a от ядра. Для этого на Front Panel вызовем диалоговое окно Controls. Из него выберем 3 контроллера Modern → Numeric → Numeric Controls: rmax, rmin – соответствуют расстоянию от электрона до ядра; N2– кол-во повторений. Вставим на панели Block Diagram из окна Functions → Programming → Structures → два блока For Loop, которые расположим рядом друг с другом, проведем математические операции и во втором блоке реализуем рабочую формулу (11) для нахождения 
(рисунок 5).
Рисунок 5 – Вставка блоков For Loop и реализация рабочей формулы для нахождения 
На Front Panel выбираем из окна Controls → Modern → Graph → XY Graph, а на панели Block Diagram из окна Functions → Programming → Cluster → выбираем блок Bundle и выполняем необходимые связи, создаем индикаторы «Вывод X» и «Вывод Y». Таким образом, на панели Block Diagram приведена полная схема программы (рисунок 6).
Рисунок 6 – Изображение программы на панели Block Diagram
На Front Panel вводим необходимые значения: rmax = 0,5; rmin = 0; N2 = 80. Получим изображение радиального распределения вероятности 
нахождения электрона на расстоянии r/a от ядра (рисунок 7).
Рисунок 7 – Изображение зависимости от r/a
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе выполнения работы были приобретены практические навыки и опыт визуализации многомерных данных на примере построения поверхностей в трехмерном пространстве. На основе водородоподобной модели атома для f -орбитали плутония (Pu) при заданных значениях l = 3 и m = 1 определили волновую функцию электрона . Затем произвели визуализацию углового распределения вероятности нахождения электрона в области пространства в сферической системе координат. Определили радиальную часть волновой функции электрона 
и построили радиальное распределение вероятности нахождения электрона на расстоянии r/a от ядра.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1 Лупов С. Ю. LabVIEW в примерах и задачах. Учебно-методические материалы по программе повышения квалификации «Обучение технологиям National Instruments» / С. Ю. Лупов, С. И. Муякшин, В.В. Шарков. Нижний Новгород.: 2007, 101 с.
2 Среда разработки приложений LabVIEW. [Электронный ресурс] // National Instruments [Электронный ресурс]. URL: https://russia.ni.com/labview (дата обращения: 04.03.2017). Загл. с экрана. Яз.рус.
3 Курс общей физики: учеб. пособие. В 3 т. Т. 3 /под ред. И. В. Савельева. М.: Изд-во «Наука», 1987. 320 с.
4 Orbital Viewer. [Электронный ресурс] // Orbitals [Электронный ресурс]. URL: https://orbitals.com/orb/ov.pdf (дата обращения: 04.03.2017). Загл. с экрана. Яз.англ.
5 Цирельсон, В. Г. Современные представления о строении атома: оболочечная структура атома, атомные орбитали, распределение электронов по оболочкам, электронная конфигурация атома / В. Г. Цирельсон, А. Н. Егорова, А. А. Рыкунов. М.: 2011, 38 с.