Дифференциальные уравнения

Задачи для подготовки к экзамену по курсу «Интегральное исчисление и ДУ»

ИНМиН, 2015-16 учебный год

Неопределенный интеграл

Определенный интеграл

1. Вычислить . Существует ли аналогичный интеграл по отрезку [1; 3]?
2. Вычислить .
3. Вычислить .
4. Вычислить .
5. Вычислить
6. Вычислить .
7. Вычислить
8. Вычислить
9. Вычислить
10. Вычислить .
11. Вычислить
12. Вычислить .
13. Выяснить, не вычисляя, какой интеграл больше, или ?
14. Найти среднее значение функции f (x) = sin² x на отрезке [0,p].
15. Найти производную функции F (x)= .
16. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением .
17. Найти длину дуги линии, заданной функцией у = е ^х + 3, ln2 £ x £ ln5.
18. Найти длину дуги кривой, заданной уравнением у = , 0 £ х £ 8/9.

Несобственные интегралы

1. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
3. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
4. Вычислить или доказать его расходимость
5. Исследовать на сходимость .
6. Исследовать на сходимость .
7. Исследовать на сходимость .
8. Исследовать на сходимость .
9. Исследовать на сходимость .
10. Исследовать на сходимость. .
11. Исследовать на сходимость .
12. Исследовать на сходимость .
13. Исследовать на сходимость .
14. Исследовать на сходимость .
15. Исследовать на сходимость в зависимости от параметра a интеграл .

Дифференциальные уравнения

1. Найти общее решение ДУ: .
2. Найти общее решение ДУ: (e^x +1) y ' = y e^x.
3. Решить задачу Коши: 2(1 + e ^x) yy ' = e ^x, .
4. Решить задачу Коши: (1 + e ^x) yy' = e ^x, y (0) = .
5. Решить задачу Коши:
6. Решить задачу Коши: y' = ­– 2 xу ², y (0) = 1
7. Решить задачу Коши: y ' + 2 xy = – 2 x ³, y(1) = е ^{– 1}.
8. Решить задачу Коши: y ' - 2 y / х = x ², y (1) = 2.
9. Решить задачу Коши: y' – x ² y = x ², y (0) = 0.
10. Решить задачу Коши: y ' + y cos x = 0,5sin2 x, y (0) = 0.
11. Решить задачу Коши: .
12. Решить задачу Коши: y' + xy = (1+ x)e ^{– x} y ², y (0) = 1.
13. Решить задачу Коши: y '– y = x y², y (0) = 1.
14. Решить задачу Коши: xy' + y = xy ², y (1) = 1.
15. Решить задачу Коши: xy' + y ln y = 0, y (1) = e.
16. Решить задачу Коши: y' = x (y – 1), y (1) = 1/2.
17. Решить задачу Коши:
18. Решить задачу Коши: y' = y e ^x /(e ^x + 3), y (0) = 1.
19. Решить задачу Коши: xy' = y ln(y/x), у (1) = 1.
20. Найти общее решение ДУ: y'' – 2 y' + 5 y = 0.
21. Найти общее решение ДУ: у '' + 7 y ' + 6 y = 0.
22. Найти общее решение ДУ: у '' – 3 y ' - 4 y = 0.
23. Найти общее решение ДУ: у ¢¢¢ - 5 y ¢¢ + 6 y ¢ = 0.
24. Найти общее решение ДУ: у''' + 25 y' = 0.
25. Найти общее решение ДУ у'' – 2 y' + 10 y = 0.
26. Найти общее решение ДУ: у'' + 8 y' + 16 y = 0.
27. Найти общее решение ДУ: у ¢¢ + 5 y ¢ - 6 у = 0.
28. Найти общее решение ДУ: y ¢¢ + 4 y = 0.
29. Найти общее решение ДУ: у'' – 8 y' + 16 y = 0.
30. Решить задачу Коши: y '' + 6 y ' + 9 y = 0, y (0) = 0, y ¢(0) = 1.
31. Решить задачу Коши: у '' + 16 y = 32 х, у (0) = 0, y '(0) = 6.
32. Решить задачу Коши: у ¢¢¢+ 9 y ¢ = е ^х, у (0) = 0, y' (0) = 1, y'' (0) = 1
33. Решить задачу Коши: , ,
34. Решить задачу Коши: .
35. Найти общее решение ДУ: у ''' + 9 y ' = 9 х + 54e^3x.
36. Найти общее решение ДУ у ¢¢¢ – 4 y ¢¢ + 8 y' = е^{–2 х} .
37. Найти общее решение ДУ: у''' + y' = 4 х + 10 е ^{2 х} + cos2 x.
38. Найти общее решение ДУ: y ''' + 4 y ' = 3 + е ^{– x} +sin3 x.
39. Найти общее решение ДУ: у''' – y' = 5 + 2e ^x + cos x.
40. Решить задачу Коши: y¢¢ + y = 1/ sin x, y (p/2) = 1, y¢ (p/2)= p/2.
41. Решить задачу Коши: x ² у'' + x y' = 1, y (1) = y ' (1) = 0.
42. Решить задачу Коши: y '' у ³ + 1= 0, y (1) = – 1, y ' (1) = –1.
43. Решить задачу Коши: 4 у ³ y'' = у ⁴ –1, y (0) = , y' (0) = .
44. Решить задачу Коши: y'' = 50у³, y(3) = 1, y '(3) = 5.
45. Решить задачу Коши для системы ДУ: x (0) = 4, y (0) = 0. Определить тип положения равновесия системы и построить фазовые траектории.
46. Решить задачу Коши для системы ДУ: x (p) = 1, y (p) = 0. Определить тип положения равновесия системы и построить фазовые траектории.
47. Решить задачу Коши для системы ДУ: , x (0) = 0, y (0) = 2. Определить тип положения равновесия системы и построить фазовые траектории.
48. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы

Найти общее решение системы.

1. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы Найти общее решение системы.
2. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы

Найти общее решение системы.

1. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы

Найти общее решение системы.

1. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы

Найти общее решение системы.

1. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы

Найти общее решение системы.

1. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы Найти общее решение системы.
2. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы

Найти общее решение системы.

1. Определить тип положения равновесия и нарисовать фазовые траектории системы Найти общее решение системы.

Кратные интегралы

1. Вычислить , если область G – треугольник с вершинами в точках А (0, 0), В (3, 3), С (3, 1).
2. Вычислить , где G ­- область, ограниченная линиями y = 4 – x ², y = x + 2.
3. Вычислить интеграл , если G – область, ограниченная линиями y = x ² – 4, y = x +2.
4. Вычислить , если G – область, ограниченная линиями: y = x, y = 2 – x, у = 0.
5. Вычислить , если G – область, ограниченная линиями: y = x +1, y = 1 – x, у = 0.
6. Вычислить , где G – область, ограниченная линиями y = x, y = 2 x, х = 1.
7. Вычислить интеграл , если G – область, ограниченная линиями x =1, y = x ³, у = – .
8. Вычислить интеграл , если область G – четырехугольник с вершинами в точках А (0,0), В (0,3), С (2,5), D (2,2).
9. Вычислить интеграл , если G – область, ограниченная линиями y = x, y = 2 x, y =2.
10. Вычислить интеграл , предварительно изменив порядок интегрирования.

1. Вычислить , где G = {(x, y): x ²+ y ² £ 4 y, x ³ 0 }.
2. Вычислить , где G ={(x, y): x ² + y ² £ 2 y }.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х ² – 5, у = 4 х.
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = x ² – 1, y = x + 1.
5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x = y ² – 1, y = 1 – x.
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = 32 – х ², у = – 4 х.
7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x ² – 4 х + y ² = 0, x ² – 2 х + y ² = 0, у = 0, у = х.

1. Пластинка задана ограничивающими ее кривыми: х = 2, у = 0, у ² = х /2 (у ³ 0). Поверхностная плотность материала пластинки m = 4 х + у ². Найти массу пластинки.
2. Пластинка задана ограничивающими ее кривыми: х =1/2, у = 0, у ² =2 х (у ³ 0). Поверхностная плотность материала пластинки m = 4 х + 9 у ². Найти ее массу.
3. Интегрируема ли функция в прямоугольнике 2 £ х £ 3, 0 £ у £1?
4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = x ² + y ², x = y ², х = 4, z = 0.
5. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 6 z = x ² + y ², .

1. Вычислить , где Т – область, заданная неравенствами:
2. Вычислить , где Т – область, ограниченная поверхностью x ² + y ² + z ²=4 z.
3. Вычислить , где T – область, ограниченная поверхностями: y = 10 x, y = 0, x = 1, z = xy, z = 0.
4. Вычислить , где Т – область, ограниченная поверхностями , z = 0.
5. Вычислить , где Т – область, ограниченная поверхностями z = 3 – , z = 0.
6. Вычислить , где область Т = {(x, y, z): x ² + y ² + z ² £ 1, x ³0, y ³0, z ³0}.