Экономико-математические методы и модели изучения и прогнозирования спроса

Задача 4.

В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:

– спроса, – предложения,

где p – цена товара.

Найти:

1. Равновесную цену p₀.

2. Эластичность спроса и предложения для этой цены.

3. Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

 

Решение

1) Определяем равновесную цену p₀, при которой спрос равен предложению.

Отсюда p₀=2. (Отрицательный корень отбрасываем, как не имеющий экономического смысла).

 

2) Находим эластичности спроса и предложения для равновесной цены.

2.1. Находим производные q’(p) и s’(p).

2.2. Получаем общие выражения для эластичностей спроса и предложения.

2.3. Вычисляем эластичности спроса и предложения при равновесной цене.

Таким образом, при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%.

3) Выведем общее выражение для эластичности дохода R=pq по цене, пользуясь свойствами эластичности и подставим в него численные значения p₀ и E₂(s):

Это означает, что при увеличении цены на 1% от равновесного значения доход увеличивается на 0,7%. Следовательно, при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 5×0,7%=3,5%.

 

Ответ: 1) равновесная цена товара равна 2;

2) при увеличении цены на 1% от равновесного значения спрос уменьшается на 0, 3%, а предложение возрастает на 0,8%;

3) при увеличении цены на 5% от ее равновесного значения доход увеличится на 3,5%.

 

Элементы теории игр (критерии принятия решений)

Задача 5.

Одно из транспортных предприятий должно определить уровень своих провозных возможностей так, чтобы удовлетворить спрос клиентов на транспортные услуги на планируемый период. Спрос на транспортные услуги не известен, но ожидается (прогнозируется), что он может принять одно из четырех значений: 10, 15, 20 или 25 тыс. т. Для каждого уровня спроса существует наилучший уровень провозных возможностей транспортного предприятия (с точки зрения возможных затрат). Отклонения от этих уровней приводят к дополнительным затратам либо из-за превышения провозных возможностей над спросом (из-за простоя подвижного состава), либо из-за неполного удовлетворения спроса на транспортные услуги. В приведенной ниже таблице определяются возможные прогнозируемые затраты на развитие провозных возможностей:

 

Варианты провозных возможностей транспортного предприятия	Варианты спроса на транспортные услуги, д.ед.

 

Необходимо выбрать оптимальную стратегию.

Решение.

Согласно условию задачи имеются четыре варианта спроса на транспортные услуги, что равнозначно наличию четырех состояний «природы»: S₁, S₂, S₃, S₄. Известны также четыре стратегии развития провозных возможностей транспортного предприятия: R₁, R₂, R₃, R₄. Затраты на развитие провозных возможностей при каждой паре S_i и R_j заданы следующей матрицей:

 

Критерий Вальда (минимаксный или максиминный). Этот критерй опирается на принцип наибольшей осторожности, поскольку он основывается на выборе наилучшей из наихудших стратегий R_j.

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат h_ji представляет потери лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. Для определения оптимальной стратегии R_j необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент а затем выбирается действие R_j (строка j), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

Если в исходной матрице по условию задачи результат представляет выигрыш (полезность) лица, принимающего решение, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий.

Для определения оптимальной стратегии R_j в каждой строке матрицы результатов находят наименьший элемент , а затем выбирается действие R_j (строка j), которому будут соответствовать наибольшие элементы из этих наименьших элементов, т. е. действие, определяющее результат, равный

Вернемся к примеру 1. Так как в этом примере представляет потери (затраты), применим минимаксный критерий. Необходимые результаты вычисления приведены в таблице:

 

Состояние Si Стра- тегия Rj	Затраты, д. ед. (hji)	max hji	W = minmax hji
S1	S2	S3	S4
R1						—
R2						—
R3
R4						—

 

Таким образом, наилучшей стратегией развития провозных возможностей в соответствии с минимаксным критерием «лучшим из худших» будет третья, т. е. R₃.

Минимаксный критерий Вальда иногда приводит к нелогичным выводам из-за своей чрезмерной «пессимистичности». «Пессимистичность» этого критерия исправляет критерий Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа использует матрицу рисков || r_ji || Элементы данной матрицы можно определить следующим образом:

Это означает, что r_ji есть разность между наилучшим значением в столбце i и значениями при том же i. Отметим, что независимо от того, является ли доходом (выигрышем) или потерями (затратами), r_ji в обоих случаях определяет величину потерь лица, принимающего решение. Следовательно, можно применять к r_ji только минимаксный критерий. Критерий Сэвиджа рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию R_j, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

 

Заданная в примере 1 матрица определяет потери (затраты). Вычислим элементы матрицы рисков || r_ji || по приведенной выше формуле:

Полученные результаты вычислений с использованием критерия минимального риска Сэвиджа оформим в таблицу:

 

Состояние Si Стра- тегия Rj	Затраты, д. ед. (hji)	max rji	W = minmax rji
S1	S2	S3	S4
R1
R2						—
R3						—
R4						—

Введение величины риска r_ji привело к выбору первой стратегии R₁, обеспечивающей наименьшие потери (затраты) в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Применение критерия Сэвиджа позволяет любыми путями избежать большого риска при выборе стратегии, а значит, избежать большего проигрыша (потерь).

 

Критерий Гурвица. Основан на следующих двух предположениях: «природа» может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 — c) и в самом выгодном состоянии с вероятностью c, где c — коэффициент доверия. Если результат — прибыль, полезность, доход и т. п., то критерий Гурвица записывается так: .

Когда представляет затраты (потери), то выбирают действие, дающее .

Если χ = 0, получим пессимистический критерий Вальда.

Если χ = 1, то приходим к решающему правилу вида или к так называемой стратегии «здорового оптимиста», т.е. критерий слишком оптимистичный.

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем взвешивания обоих способов поведения соответствующими весами (1 — χ) и χ, где 0<χ<1. Значение χ от 0 до 1 может определяться в зависимости от склонности лица, принимающего решение, к пессимизму или к оптимизму. При отсутствии ярко выраженной склонности χ = 0,5 представляется наиболее разумной.

 

Используем критерий Гурвица в примере 1. Положим χ = 0,5. Результаты необходимых вычислений запишем в таблицу:

 

Wj
W1
W2			17,5	—
W3				—
W4				—

 

Оптимальное решение заключается в выборе W.

Таким образом, в примере предстоит сделать выбор:

по критерию Вальда — выбор стратегии R₃;

по критерию Сэвиджа — выбор стратегии R₁;

по критерию Гурвица — выбор стратегии R₁ при χ = 0,5, а если лицо, принимающее решение, — пессимист (χ = 0), то выбор стратегии R₃.

 

ЗАДАЧИ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

Задачи 1-10

В таблице приведены данные об исполнении баланса. Используя модель Леонтьева многоотраслевой экономики, вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечный выпуск энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроительной сохранится на прежнем уровне. 1.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
2.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
3.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
4.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
5.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
6.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
7.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
8.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
9.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение
10.
№	Отрасль	Потребление	Конечный продукт	Валовой продукт
	Энергетическая
	Машиностроение

 

Задачи 11-20

 

Решите графически задачу линейного программирования:

11.F(X) = 2x , 12. F(X) = 5x

x x

 

13. F(X) = 2x , 14. F(X) = 2x ,

x x

 

15. F(X) = 5x 16. F(X) = -x

x x

17. F(X) = 5x 18. F(X) = 4x

x x

 

19. F(X) = 2x 20. F(X) = -6

x x

 

 

Задачи 21-30

Имеются пункты отправления однородного груза (поставщики) A ,A ,…,A и пункты назначения этого груза (потребители) B ,B ,…B . На пунктах отправления находится груз в количестве единиц. В пункты назначения требуется доставить соответственно единиц груза. Стоимости доставки единицы груза заданы в виде матрицы C= (),

Требуется найти план закрепления потребителей за поставщиками однородного груза так, чтобы общие затраты по перевозкам были минимальными.

 

Исходные данные записаны в виде:

...

...

.......

...

...

21. 22.

 

23. 24.

 

25. 26.

 

27. 28.

29. 30.

 

 

Задачи 31-40

 

В результате маркетингового исследования установлено, что функции спроса и предложения имеют вид:

– спроса, – предложения, где p – цена товара.

Найти:

1. Равновесную цену p₀.

2. Эластичность спроса и предложения для этой цены.

3. Изменение дохода при увеличении цены на 5% от равновесной.

 

31. - спроса, - предложения,

32. - спроса, - предложения,

33. - спроса, - предложения,

34. - спроса, - предложения,

35. - спроса, - предложения,

346. - спроса, - предложения,

37. - спроса, - предложения,

38. - спроса, - предложения,

39. - спроса, - предложения,

40. - спроса, - предложения,

 

Задачи 41-50

Экономисты предприятия разработали несколько вариантов продажи товаров на предстоящей ярмарке с учетом неясной конъюнктуры рынка и представили их в виде платежной матрицы.

Определить оптимальный план продажи, используя:

1) максиминный критерий Вальда;

2) критерий минимаксного риска Сэвиджа;

3) критерий оптимизма-пессимизма Гурвица.

41.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	5,0	4,5	5,1	4,0
П2	4,2	5,6	3,9	4,3
П3	3,6	4,1	4,7	4,0
П4	3,5	3,9	4,6	3,8

(c=0,7)

42.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	5,5	3,5	1,0	6,6
П2	3,3	5,6	8,0	4,3
П3	5,6	6,0	5,7	3,0
П4	0,5	3,9	2,6	10,8

(c=0,8)

43.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	1,0	4,5	12,1	0,1
П2	7,2	3,6	3,5	0,3
П3	9,6	4,1	4,9	2,0
П4	6,5	8,9	0,6	1,8

(c=0,9)

44.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	0,1	6,5	5,1	7,0
П2	0,2	5,6	7,9	4,3
П3	0,6	2,1	8,7	8,0
П4	3,0	3,9	4,6	0,8

(c=0,1)

45.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	2,0	5,5	9,1	4,0
П2	7,2	3,6	7,0	2,0
П3	3,6	4,1	4,7	4,0
П4	9,5	0,1	2,0	5,0

(c=0,7)

46.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	4,0	9,0	0,1	4,0
П2	4,2	5,6	9,9	0,3
П3	8,6	0,1	4,7	4,0
П4	0,5	3,9	7,0	3,8

(c=0,2)

47.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	1,0	4,5	5,1	7,0
П2	4,2	0,0	3,9	4,3
П3	9,6	4,0	0,0	2,0
П4	5,5	10,0	1,5	0,0

(c=0,7)

48.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	5,0	4,0	5,0	4,0
П2	14,2	0,6	0,0	1,3
П3	1,6	9,1	3,0	1,0
П4	2,0	2,0	2,0	2,0

(c=0,2)

49.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	5,0	4,5	0,9	7,0
П2	0,0	15,5	7,0	0,3
П3	3,6	1,1	4,7	4,0
П4	7,5	3,9	4,6	1,8

(c=0,3)

50.

Величина прибыли, тыс. руб.
План продажи	Возможные состояния конъюнктуры рынка
К1	К2	К3	К4
П1	15,0	4,0	1,0	0,0
П2	0,0	17,0	3,0	3,3
П3	3,6	4,1	4,7	4,0
П4	0,5	0,9	0,6	17,8

(c=0,4)