п.2.1. Функция, предел, производная, интеграл




Модуль II. Детерминированные методы.

Детерминистская математика основана на вере или абстрактной обоснованной предпосылке, что реальные сущности и явления жестко детерминированы определенными причинами, и, что эти сущности и явления могут быть адекватно представлены математическими неслучайными абстрактными объектами: числами, геометрическими фигурами, переменными величинами, множествами и т.д. Отсюда считается, что жестко предопределены, неслучайны, отношения между реальными сущностями и явлениями. Мы полагаем, что рассмотрение элементов математического анализа отразит сущность данного подхода. Вообще, на наш взгляд, общекультурный потенциал математического анализа позволит объяснить Вам и возможность применения математических методов, и их ограниченность.

Под детерминированными методами будем понимать тот математический аппарат, который характеризуются вполне определенными и известными факторами, носящими функциональный характер. Обычно детерминированным методом считается выявление функциональной зависимости и исследование ее средствами математического анализа.

п.2.1. Функция, предел, производная, интеграл

Целью изучения данного пункта является, во-первых, актуализация Ваших знаний по теме «функция, предел, производная и интеграл», во-вторых, рассмотреть приложения этих понятий к различным ситуациям.

Вы должны уметь:

- определять, что в задаче присутствует зависимость между множествами;

- переходить от одного способа задания функции к другому;

- определять область определения и множество значений;

- интерпретировать графики зависимостей между величинами;

- определять, что в задаче необходимо использовать понятия предела или производной, или интеграла;

- уметь пользоваться справочными таблицами для вычисления производной, интеграла и предела;

- интерпретировать значения производной и интеграла по отношению к исходной функции.

Первая серия заданий

 

номер. Внимательно прочтите следующее задание и ответьте на вопросы после него. Составьте свои вопросы к преподавателю.

Два человека планируют прогулку. Если первый выйдет раньше, а второй догонит его на велосипеде, то встретившись, они могут пойти вместе назад. При каком значении скорости первого человека, время прогулки окажется наименьшим, если известно, что скорость велосипедиста больше на 9 км/ч, а возвращались они со скоростью 4 км/ч?

Решение. Время, за которое человек на велосипеде догонит своего друга, составит 2/3 (ч). До встречи первый человек находился в пути (ч) и прошел (км).

 

Этот путь друзья преодолели обратно с одинаковой скоростью 4 км/ч и затратили время

(ч). Тогда время, затраченное «пешеходом» на всю прогулку, выразится функцией

.

Находим, . Приравняв эту дробь к нулю, найдем, что .

Легко определить, что - точка минимума функции.

Вывод: друзья затратят на прогулки наименьшее время, если «пешеход» первоначально будет идти со скоростью 6 км/ч.

 

Вопросы и задания:

1) Выделите условие, заключение и основные этапы в решении этой задачи.

2) Выделите те действия в решения, которые Вы не можете понять и объяснить.

 

 

номер. Ниже приведен ряд задач, рассматривавшихся в школьном курсе. Если Вы знаете, как решается задача, отметьте «знаю и умею», если нет, то выпишите и попытайтесь решить ее. Если Вы чувствуете, что Вам недостаточно одной задачи для повторения данной темы, попросите преподавателя дать Вам еще несколько заданий. Решите столько примеров, сколько Вам необходимо для уверенного обращения с заданными темами.

умение и навыки Задание Знаете/не знаете Умеете/не умеете
умение определять функциональную зависимость Какая функциональная зависимость между величинами лежит в основе решения нижеприведенных задач? Задайте эту зависимость аналитически. 1) В 4 одинаковые емкости помещается 80 л жидкого вещества. Сколько литров вещества поместится в несколько таких емкостей?   2) С одной яблони собрали 30 кг яблок, а с другой – на несколько кг меньше. Сколько килограммов яблок собрали с двух яблонь?   3) Магазин получил 32 пачки учебников русского языка, по 8 штук в каждой, и несколько пачек учебников математики, по 10 штук. Сколько всего учебников получил магазин?      
Умение различными способами представлять функцию Можете ли Вы назвать функции, построить их графики, задать их таблично:  
Умение находить основные характеристики функции Что Вы можете сказать о монотонности, экстремумах, четности функции?  
Знание предела и умение определять значение предела функции Можете ли Вы найти следующие пределы функций: .  
Знание определения и сущности производной и интеграла Дайте определение и приведите пример производной и интеграла.  
Умение пользоваться таблицами для взятия производной и интеграла функции Можете ли, используя таблицу производных и интегралов, найти производные следующих функций и неопределенные интегралы от следующих функций:      

Вторая серия заданий

номер. Заполните пробелы.

Как развивается процесс Аналитическое задание График, Таблица значений Что показывает предел, производная интеграл?    
Линейно  
x      
y      

 

   
       
x       2.5
y -6     0.25

 

 

   
   
x      
y      

 

 

   
     
x        
y        

 

 

   
     
x      
y      

 

 

   
   
x      
y      

 

   
     
x      
y      

 

 

   

 

номер. Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:

 

Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .

 

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

 

 

номер. Найти и исправить ошибки

1) Вы строите два дома на одном участке площадью 294 м2, требуется сначала огородить участок забором, а затем разделить этот участок на две равные части. Вы же хотите сэкономить, поэтому узнайте, при каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?

Идея решения: Участок прямоугольный, введем обозначения.

  1. Что дано? Прямоугольный участок и его площадь.
  2. Что требуется? Найти стороны участка.
  3. Чему равна площадь прямоугольника? 2ху=294.
  4. Чему равна длина всего забора? Она неизвестна, следовательно, ее можно выразить через одну из переменных: .
  5. Что нужно сделать, чтобы найти наименьшее значение этой функции? Нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю, решить полученное уравнение:
  6. В результате получаем, что стороны должны быть примерно равны 12 и 24 метра.

 

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2018-01-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: