B.1. Постановка транспортной задачи

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2.

Решение транспортных задач электроэнергетики

Цель работы: Получение навыков составления математических моделей для решения задач линейного программирования в пакете MS Excel. Приобретение навыков решения транспортных задач электроэнергетики.

Краткие теоретические сведения.

B.1. Постановка транспортной задачи

Транспортная задача - это задача отыскания таких путей перевозки продукта от пунктов производства к пунктам потребления, при которых общая стоимость перевозок оказывается минимальной.

Математический аппарат транспортной задачи применим и к задачам электроэнергетики. Здесь под продуктом подразумевается электрическая мощность, передаваемая от источников питания к потребителям по линиям электропередачи. Источниками питания являются электрические станции или подстанции, потребителями - промышленные, городские, сельскохозяйственные потребители электроэнергии. Оптимизации подлежат затраты на схему электрической сети, состоящей из линий электропередачи, связывающих узлы источников питания с узлами потребителей.

Пусть в проектируемой системе электроснабжения имеется i = 1, 2,... n узлов источников питания и j = 1, 2,... m узлов потребителей. Мощность каждого из источников составляет A_i, а мощность каждого из потребителей - B_j единиц мощности (е.м.). Известно взаимное расположение узлов источников и потребителей. Стоимость передачи единицы мощности от источника i к потребителю j (удельная стоимость) составляет z_ij у.е./е.м.

Общее количество возможных к строительству линий электропередачи, связывающих источники с потребителями, составляет nm. Мощности, передаваемые по этим линиям, являются искомыми переменными x_ij, следовательно, количество искомых переменных составляет nm.

Затраты на электрическую сеть равны сумме произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от источников i к потребителям j. Поэтому подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид:

n m

Z = Σ Σ z_ijx_ij → min. (1)

i= 1 j= 1

С позиций теоретической электротехники электрическая сеть является электрической цепью и для этой сети применимы все законы, известные из курса электротехники, в частности 1-й закон Кирхгофа. Для каждого i -го источника питания сумма мощностей, оттекающих по линиям ко всем j= 1,2,... m узлам потребителей, равна мощности A_i этого источника

m

Σ x_ij = A_i. (2)

j= 1

Для каждого j -го потребителя сумма мощностей, притекающих по линиям от всех i= 1,2,... n источников, равна мощности B_j этого потребителя

n

Σ x_ij = B_j. (3)

i= 1

Соотношения (2) и (3), представляющие собой балансы мощности в каждом из узлов, являются ограничениями при решении транспортной задачи.

Каждая базисная переменная x_ij соответствует присутствию в схеме линии между узлами i и j, поскольку мощность, протекающая между узлами i и j, не равна нулю. Каждая свободная переменная x_ij соответствует отсутствию в схеме линии между узлами i и j, поскольку мощность, протекающая между узлами i и j, равна нулю.

В рассматриваемой постановке транспортной задачи все искомые мощности х _ij, передаваемые от источников к потребителям, являются неотрицательными. Следовательно, граничные условия имеют вид

x_ij > 0, i =1, 2,... n; j =1, 2,... m. (4)

Выражения (1), (2), (3) и (4) представляют собой математическую модель транспортной задачи. Видно, что выражения целевой функции (1) и ограничений (2) и (3) являются линейными.

Пример 1. В проектируемой системе электроснабжения имеется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Мощности источников составляют A ₁ и А ₂, а мощности потребителей - B ₁, В ₂ и В ₃ е.м. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети показаны на рис. 1. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами источников и потребителей составляют z ₁₁, z ₁₂, z ₁₃, z ₂₁, z ₂₂, z ₂₃ у.е./е.м.

Составить математическую модель для решения транспортной задачи.

Рис. 1. Взаимное расположение узлов и возможные к сооружению линии электрической сети

Решение. Целевая функция, представляющая собой суммарные денежные затраты на электрическую сеть, в соответствии выражением (1) будет иметь вид

Z = z ₁₁ x ₁₁ +z ₁₂ x ₁₂ +z ₁₃ x ₁₃ +z ₂₁ x ₂₁ +z ₂₂ x ₂₂ +z ₂₃ x ₂₃ → min.

Ограничения, представляющие собой балансы мощности в узлах электрической сети, в соответствии с выражениями (2) и (3) будут иметь следующий вид:

x ₁₁ +x ₁₂ +x ₁₃ =A ₁,

x ₂₁ +x₂₂+x₂₃=A ₂,

x ₁₁ +x ₂₁ =B ₁,

x ₁₂ +x ₂₂ =B ₂,

x ₁₃ +x ₂₃ =B₃.

Граничные условия в соответствии с соотношением (4) запишутся как

x ₁₁ > 0, x ₁₂ > 0, x ₁₃ > 0, x ₂₁ > 0, x ₂₂ > 0, x ₂₃ > 0.

Полученные выражения представляют собой математическую модель транспортной задачи для схемы, приведенной на рис. 1.