При проектировании систем электроснабжения часто сталкиваются с задачей ограничения пропускной способности линии. В частности, ограничение передаваемой мощности по существующей линии обусловлено допустимым нагревом ее проводов.
Пусть для линии xij между источником i и потребителем j передаваемая мощность ограничена величиной S (xij < S).
B.3. Транспортная задача с транзитом мощности
В рассмотренных выше транспортных задачах передача мощностей осуществлялась непосредственно от источников к потребителям. Это транспортные задачи в так называемой классической постановке.
В реальных схемах электрических сетей часто оказывается целесообразной передача мощности через промежуточные (транзитные) узлы. Такими транзитными узлами могут быть как узлы источников питания, так и узлы потребителей. На рис. 2 в качестве примера приведены простейшие схемы электрических сетей, поясняющие понятие "транзит мощности".
а) б) в)
Рис. 2. Поясняющие схемы к понятию "транзит мощности"
На рис. 2.а показано взаимное расположение узлов источника А 1 и потребителей В 2 и В 3. При классической постановке транспортной задачи оптимальная схема электрической сети будет иметь вид, показанный на рис. 2.б. Очень возможно, что эта схема будет дороже, чем схема, приведенная на рис. 2.в, в которой мощность к потребителю В 3 передается через промежуточный (транзитный) узел потребителя В 2. Величина транзитной мощности, передаваемой через узел В 2, равна мощности потребителя В 3, т.е. х 22 =В 3.
Транзитная мощность обозначена переменной с двумя одинаковыми индексами, соответствующими номеру узла, через который она протекает. Можно показать, что транзитным узлом может быть и узел источника питания.
Таким образом, транспортная задача с транзитом мощности является более общей задачей и имеет более широкие возможности по оптимизации схемы электрической сети, чем транспортная задача в классической постановке.
При решении транспортных задач с транзитом мощности с количеством источников n и количеством потребителей m всем узлам схемы присваивается единая нумерация 1, 2,... (n+m).
Целевая функция представляет собой сумму произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от узла i к узлу j
Для оценки удельных затрат zii на передачу через i -й узел транзитной мощности xii обратимся к рис. 2.в. Затраты на электрическую сеть, показанную на этом рисунке, составляют Z= z 12 x 12 +z 23 x 23. Транзитная мощность х 22 и удельные затраты z 22 на ее передачу через узел 2 не входят в выражение целевой функции Z. Следовательно, удельные затраты на передачу транзитной мощности через любой i -й узел zii =0.
Как и в классической транспортной задаче, ограничениями в транспортной задаче с транзитом будут балансы мощности во всех узлах. В частности, для узла В 2 схемы рис. 3.6, в баланс мощности запишется в виде х 12 = В 2 + х 22 или х 12 - х 22 = В 2.
В общем случае для любого j -го потребителя сумма мощностей, притекающих от всех других узлов, за вычетом транзитной мощности xjj равна мощности этого потребителя
n+m
Σ xij - xjj =Bj. (5)
i= 1, i ≠ j
Аналогично можно записать уравнение баланса мощности для любого i -го источника. Сумма мощностей, оттекающих от i- го источника ко всем другим узлам, за вычетом транзитной мощности xii равна мощности этого источника
n+m
Σ xij - xii =Ai. (6)
j= 1, i ≠ j
Из двух последних выражений видно, что транзитная мощность входит в математическую модель транспортной задачи со знаком минус.
Задание
В проектируемой системе электроснабжения имеется 2 узла источников питания и 3 узла потребителей. Мощности источников составляют A 1и A2, а мощности потребителей B 3, B 4и B 5. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узлами составляют z 13, z 14, z 15, z 23, z 24, z 25, z 34, z 45, z 56.
Требуется найти оптимальную схему электрической сети:
1. Для случая отсутствиятранзита мощности.
2. Для случая отсутствиятранзита мощности и ограничения на пропускную способность линий электропередач x13 < 50 и x24 < 50.
3. Для случая транзита мощности.
4. Для случая транзита мощности и ограничения на пропускную способность линий электропередач x13 < 50 и x24 < 50.
ВАРИАНТЫЗАДАНИЙ
| N | A 1 | A2 | B 3 | B 4 | B 5 | z 13 | z 14 | z 15 | z 23 | z 24 | z 25 | z 34 | z 45 | z 35 |
Контрольные вопросы:
1. Приведите примеры транспортных задач для электроэнергетики.
2. Приведите математическую модель для транспортной задачи.
3. Приведите математическую модель для транспортной задачи с ограничением по пропускной способности.
4. Приведите математическую модель для транспортной задачи с транзитом мощности.