Распределение случайной величины, в принципе, невозможно точно определить по результатам опытов. Полученные экспериментально оценки распределения дают возможность только строить различные гипотезы о распределении случайной величины, например, гипотезу о том, что она распределена нормально. Поэтому возникает задача проверки гипотез. Эта задача состоит в том, чтобы определить, насколько хорошо согласуется та или иная гипотеза о распределении случайной величины с полученными экспериментальными данными.
Для проверки гипотез о распределении применяются различные критерии согласия. Наиболее удобным является критерий ХИ – квадрат Пирсона. Он совершенно не зависит от распределения случайной величины, от ее размерности. Мерой согласия является величина , равная
,
где k – число разрядов гистограммы;
– вероятность попадания случайных значений в соответствующий интервал , вычисленная по теоретическому закону;
– статистическая частота попадания случайного значения в соответствующий интервал;
– число произведенных измерений.
Для случая аппроксимации статистического распределения нормальным законом вероятность попадания случайных значений величины в каждый из интервалов вычисляют с помощью формулы Муавра – Лапласа
,
где – функция Лапласа. В справочной литературе приводятся значения для различных значений . Данная информация приведена в приложении Б.
Таблица 2.6.1 – Результаты вычисления функции Лапласа
Xi | ||||||||||||
u | -2.549 | -2.007 | -1.464 | -0.922 | -0.38 | 0.163 | 0.705 | 1.247 | 1.79 | 2.332 | 2.874 | 3.416 |
Ф(u) | -0.4946 | -0.47721 | -0.428 | -0.32122 | -0.1480 | 0.0637 | 0.25955 | 0.3926 | 0.4633 | 0.4901 | 0.497921 | 0.49986 |
Таблица 2.6.2 – Результаты вычисления вероятностей по формуле Муавра – Лапласа и значения критерия
Xi | 677.5 | 682.5 | 687.5 | 692.5 | 697.5 | 702.5 | 707.5 | 712.5 | 717.5 | 722.5 | 727.5 |
pi | 0.022 | 0.049 | 0.107 | 0.173 | 0.212 | 0.196 | 0.133 | 0.071 | 0.027 | 0.008 | 0.002 |
i | 1.6712963 | 0.0197172 | 0.000018 | 0.0000111 | 0.0969934 | 43.1950474 | 19.9575 | 8.6992951 | 0.0000995 | 1.17315 | 0.29085 |
Критерий будет равен: = 75,104.
Распределение ХИ-квадрат зависит от параметра , называемого числом степеней свободы распределения, определяемого по формуле
,
где k – число независимых связей.
Примерами связей могут быть
, и т.д.
Первое условие должно вводиться для всех видов распределения параметров. Кроме этого, должно выполняться условие равенства теоретических и статистических моментов: начального первого порядка и центральных второго и более порядков. Для случая нормального закона распределения ограничиваются условиями равенства моментов первого и второго порядков с соответствующими теоретическими, т.е. и .
Следовательно h=3, k=11, тогда r=8
Так как в таблице для = 75,104 и r=8 значения p не существует, данное распределение не согласуется с нормальным законом.
3. Из исходной выборки экспериментальных данных составим ограниченную выборку из 50-ти элементов путем извлечения из нее каждого третьего элемента. Для этой выборки выполним следующее:
3.1. Составим группированный статистический ряд и вычислить математическое ожидание и дисперсию:
Таблица 3.1.1
710,5 | |||||||
710,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
710,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
703,5 | |||||||
Минимальное значение параметра = | ||||
Максимальное значение параметра = | 710,5 | |||
Размах варьирования = | 35,5 |
Таблица 3.1.2 – Группированный статистический ряд частот
Интервалы | 675-682,1 | 682,1-689,2 | 689,2-696,3 | 696,3-703,4 | 703,4-710,5 |
Середина | 678,55 | 685,65 | 692,75 | 699,85 | 706,95 |
Частота | |||||
Pi | 0,04 | 0,12 | 0,3 | 0,16 | 0,38 |
Таблица 3.1.3 – Определение начальных моментов
Xi | Pi | Ui | PiUi | PiUi^2 | PiUi^3 | PiUi^4 |
678,55 | 0,04 | -2 | -0,08000 | 0,00640 | -0,00051 | 0,00004 |
685,65 | 0,12 | -1 | -0,12000 | 0,01440 | -0,00173 | 0,00021 |
692,75 | 0,3 | |||||
699,85 | 0,16 | 0,16000 | 0,02560 | 0,00410 | 0,00066 | |
706,95 | 0,38 | 0,76000 | 0,57760 | 0,43898 | 0,33362 | |
Сумма | 0,72 | 0,624 | 0,440832 | 0,3345254 |
Условные начальные моменты равны:
Центральные моменты:
m1= | 697,862 |
μ2= | 5,323296 |
Тогда
Математическое ожидание: m = 697.862
Дисперсия (смещенная): D = µ2 = 5.32296
Дисперсия (несмещенная): D=D`*50/49=5.43
Среднее квадратичное отклонение: σ=
Окончательное значение статистического параметра для данной выборки:
X=697.862±2.307.
Заключение
В ходе выполнения лабораторной работы было произведено:
а) составление группированного статистического ряда, построение гистограммы плотности распределения, сглаживающей кривой и кривой аппроксимируемого закона распределения;
б) вычисление основных моментов распределения и оценка симметричности и островершинности кривой распределения;
в) проверка гипотезы соответствия исследуемой выборки нормальному закону распределения с помощью критерия ХИ-квадрат Пирсона;
г) вычисление основных характеристик выборки из ограниченного числа опытов;