Задания с развёрнутым ответом (решением)

12. Функция долгосрочных общих издержек фирмы «Ээх», являющейся монополистом на рынке вредных продуктов питания (далее впп), имеет вид , где Q – количество впп, купленных населением, в шт. (может быть нецелым числом). Про спрос известно, что он линеен и что больше
25 тугриков за шт.впп потребители отдать не готовы. Государство решило ввести налог на «Ээх» в размере t ед. за штуку впп, и выбирает t такое, чтобы собрать не меньше 16 тугриков, при этом минимизировав потребление впп. Какое t выберет государство в долгосрочном периоде, если известно, что
в исходном равновесии было продано 5 шт.впп?

Решение:

1) Так как фирма является монополистом, равновесие достигается при
MR = MC. По условию спрос линеен, а максимальная цена равна 25.
Тогда пусть

Отсюда

(+1 балл за выражение, +1 балл за обоснование типа экстремума)

В условиях отсутствия налога (+1 балл)

(+1 балл)

2) Зная, как выпуск зависит от ставки налога, мы можем выразить через неё суммарные налоговые сборы (т. е. найти кривую Лаффера):

(+1 балл)

По условию сборы должны быть не меньше 16 тугриков, т. е.

(+1 балл)

(+1 балл)

Так как Q отрицательно зависит от ставки налога, нужно выбрать максимально возможную ставку, при которой сборы будут не меньше 16 тугриков,
т. е. (+3 балла).

При такой ставке , т. е. фирме будет выгодно остаться на рынке (+1 балл).

При этом государство выберет .

Если участник пропускает промежуточные вычисления, но тем не менее получает верные итоговые цифры либо выражения, ставится полный балл. Ответ: .

Максимум за задание – 11 баллов.

13. В стране живут 100 португальцев и 50 испанцев. Каждый португалец может произвести 10 ед.X или 3 ед.Y. Каждый испанец может произвести A ед.X или 10 ед.Y. Найдите все возможные значения параметра A, если известно, что при совместной работе испанцы специализируются на товаре Y.

Решение:

Найдём, сколько ед. различного товара произведут все португальцы и все испанцы: или для португальцев;
или для испанцев (+3 балла).

Построим КПВ португальцев и испанцев для произвольного . Поскольку испанцы специализируются на товаре Y, КПВ будет иметь такой вид:

Построим эскиз совместной КПВ с учётом того, что часть КПВ португальцев будет выше части КПВ испанцев:

С учётом того, что совместная КПВ должна быть выпуклой вверх, найдём крайние допустимые значения :

КПВ испанцев – вертикальный отрезок: (+4 балла).

КПВ испанцев – продолжение отрезка КПВ португальцев: для португальцев (+4 балла).

Допустимо также более простое решение, без графического анализа:

достаточно сравнить альтернативные издержки испанцев и португальцев:
для португальцев , а для испанцев (+4 балла).

Чтобы испанцы специализировались на товаре Y, необходимо, чтобы альтернативные издержки производства одной ед. товара Y были не больше (допустимо также строго ниже), чем у португальцев, т. е. выполнение неравенства (допустимо также ) (+5 баллов) с учётом того,
что (+2 балла).

Ответ: либо .

Максимум за задание – 11 баллов.

14. На рынке совершенной конкуренции есть три группы потребителей со следующими функциями спроса:

Q_А = 20 – 2× Р

Q_Б = 10 – 2× Р

Q_В = 15 – 5× Р

И 4 фирмы с одинаковыми функциями издержек: TC = 0,5 × q ^2 + 5

Найдите равновесные цену и количество товара.

Решение:

Найдём функцию предложения одной фирмы из условия: МС = Р.

Получим qs = P (+3 балла)

Рыночная функция предложения Qs = 4 × q = 4 × P (+1 балл)

Функция рыночного спроса (+5 баллов):

Приравнивая функции спроса и предложения, получаем решение: Р = 3,75; Q = 15 (+2 балла). При этом товар покупают только группы потребителей А и Б.

В случае арифметической ошибки, не повлиявшей на выбор второго участка функции спроса, – минус 1 балл.

В случае арифметической ошибки, повлекшей за собой неверный выбор участка с дальнейшим верным решением, – минус 3 балла.

Ответ: Р = 3,75; Q = 15.

Максимум за задание – 11 баллов.

15. Студенты арендуют аудиторию на факультете экономики и пишут научные исследования. На написание одного научного исследования требуются 1 ед. труда (человеко-занятие) и 2 ед. электроэнергии для работы компьютера. 1 человеко-занятие обходится в 100 руб., необходимые для того, чтобы привлечь студента с занятия и заплатить ему вознаграждение. Единица электроэнергии стоит 10 руб. Кроме того, необходима аудитория для запуска процесса. Её аренда у декана стоит А руб. в год. Спрос на научные исследования предъявляют лучшие университеты мира. Рыночная функция спроса на исследования, создаваемые студентами, имеет вид Q = 150 – p /2, где
p – цена одного исследования. Какую максимальную цену A готовы будут заплатить студенты за аренду аудитории?

Решение:

При проведении исследований используются два фактора производства:
K (электроэнергия) и L (труд студентов).

Производственная функция имеет вид , т. к. и электро­энергия, и время необходимы для создания исследований. Оптимум достигается при , откуда .

Либо можно написать так: каждое исследование требует 1 ед. труда и 2 ед. энергии, поэтому стоит руб. (+2 балла)

Совокупная функция издержек имеет вид:

(+3 балла)

Функция прибыли предприятия имеет вид:

(+3 балла)

Оптимум функции прибыли как параболы с ветвями вниз достигается при
. Параметр А на оптимум не влияет, т. к. является константой (+1 балл).

Прибыль должна быть неотрицательной, откуда при подстановке оптимального объёма получается неравенство:

и (+2 балла)

Таким образом, при максимальном студенты готовы платить за аренду аудитории.

Ответ: 4050.

Максимум за задание – 11 баллов.