Свойства правильного сечения

1. Все вершины сечения лежат на ребрах многогранника

2. Все стороны сечения лежат в гранях многогранника

3. В каждой грани многогранника лежит не более одной стороны сечения

Задания с решениями

1.В прямоугольном параллелепипеде известны ребра: , Найдите угол между плоскостями ABC и .

Решение.

Плоскости ABC и имеют общую прямую BD. Проведем перпендикуляр AH к BD. По теореме о трех перпендикулярах Значит, - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и . Из прямоугольного треугольника BAD находим:

.Откуда

Из прямоугольного треугольника находим:

Следовательно.

Ответ:

2. В кубе найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Плоскости и .имеют общую прямую . Пусть точка O — центр куба, а M — середина . MO — средняя линия треугольника , поэтому || .Но , поэтому . Треугольник — равносторонний, М – середина стороны , следовательно . Значит линейный угол двугранного угла между плоскостями и .

Пусть сторона куба равна а. Найдем стороны треугольника . Из треугольника , находим . Из правильного треугольника ,сторона которого равна ,находим

Поскольку O — середина диагонали , то .

Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

Тогда

Ответ: .

3. В единичном кубенайдите расстояние от точки А до плоскости .

Решение

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Чтобы провести перпендикуляр из точки А до плоскости , проведем через точку А плоскость , перпендикулярную плоскости :

Докажем, что плоскость перпендикулярна плоскости .

как диагонали квадрата,

, так как перпендикулярна плоскости и, значит, любой прямой, лежащей в этой плоскости

Следовательно, прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости и, следовательно, перпендикулярна плоскости . Значит, любая плоскость, проходящая через прямую будет перпендикулярна плоскости , в том числе и плоскость .

– линия пересечения плоскости и плоскости .

Рассмотрим треугольник и в плоскости этого треугольника проведем высоту к стороне и

Так как плоскости и взаимно перпендикулярны, то и есть расстояние от точки А до плоскости .

Найдем стороны треугольника АРС.

Из треугольника по теореме Пифагора найдем СР.

, , РО =1

Подставим в данную формулу найденные значения

Тогда

Ответ:

Способ.

Рассмотрим правильную пирамиду с основанием и вершиной А

Расстояние от точки А до плоскости равно высоте пирамиды.

В основании пирамиды лежит правильный треугольник стороны которого равны . Боковые ребра пирамиды также равны между собой и равны .

Если боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина проецируется в центр О описанной около основания окружности- в нашем случае, в случае правильного треугольника – это точка пересечения, в частности, медиан.

Точка О – точка пересечения медиан правильного треугольника делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Тогда

найдем по теореме Пифагора из треугольника

Ответ:

3 способ.

Рассмотрим правильную пирамиду с основанием и вершиной А. Она получается, если от единичного куба «отрезать» 4 одинаковые пирамиды, объем каждой из которых равен 1/6 объема куба. То есть мы «отрезаем» 2/3 объема куба и остается 1/3.

Площадь основания пирамиды равна площади треугольника и равна

Расстояние от точки А до плоскости равно высоте пирамиды H.

Получаем: Откуда

Ответ

4.В правильной треугольной призме, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки до прямой.

Решение

Точки и лежат в одной плоскости Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Пусть .Тогда и есть искомое расстояние.