Промежутки выпуклости графика. Точки перегиба.




Тема: «Применение производной к исследованию функций»

Промежутки возрастания и убывания функции

· Функция называется возрастающей на данном промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

f(x2) > f(x1) при x2 > x1

 

· Функция называется убывающей на данном промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

f(x2) < f(x1) при x2 > x1

Признак возрастания: Если функция определена, дифференцируема и возрастает на некотором промежутке, то ее производная положительна в каждой точке этого промежутка.

f ′(x)>0

Признак убывания: Если функция определена, дифференцируема и убывает на некотором промежутке, то ее производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

f ′(x)<0

· Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.

Пример:

Исследуйте функцию y=2x3-15x2+36x-14 на монотонность.

Решение:

y’=6x2-30x+36

6x2-30x+36=0

x2-5x+6=0

x1=2 x2=3, критические точки.

Определяем знак производной на каждом интервале.

Ответ: функция возрастает при хЄ

функция убывает при хЄ

Экстремумы функции

· Точка x0 из области определения функции называется точкой минимума, если для всех х из некоторой окрестности точки x0 выполняется условие f(x0)<f(x).

· Точка x0 из области определения функции называется точкой максимума, если для всех х из некоторой окрестности точки x0 выполняется условие f(x0)>f(x).

Признаки максимума и минимума функции:

Если f ′(x0)=0 и при переходе через точку x0 производная f ′(x)меняет знак с + на -, то в точке x0 - максимум;

если же производная f ′(x) меняет знак с – на +, то в точке x0 - минимум.

Пример: Исследовать функцию y=x3-9x2+24x-12 на максимум и минимум.

Решение:

y’=3x2-18x+24

3x2-18x+24=0

x1=4 x2=2, критические точки.

Определяем знак производной на каждом интервале.

Xmax=2 Xmin=4

ymax =y(2)= 8

ymin =y(4)= 4

Ответ: (2;8)-точка max

(4;4)-точка min

 


Промежутки выпуклости графика. Точки перегиба.

· График функции называется выпуклым вниз, если он расположен выше касательной, проведенной к графику функции (рис. а); в противном случае график функции называется выпуклым вверх (рис.б).

Признак выпуклости вверх: Если функция определена, дифференцируема и выпукла вверх на некотором промежутке, то ее вторая производная отрицательна в каждой точке этого промежутка.

f ′’(x)<0

Признак выпуклости вниз: Если функция определена, дифференцируема и выпукла вниз на некотором промежутке, то ее вторая производная положительна в каждой точке этого промежутка.

f ′’(x)>0

· Точки, в которых вторая производная равна нулю или не определена, называются критическими точками II рода.

· Точки, в которых график функции меняет направление выпуклости, называются точками перегиба.

Признак точки перегиба: Если в точке x0 вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв, и при переходе через критическую точку x0 вторая производная меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (x0; f(x0 )).

Пример: Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба y=1/10x5-5/6x3+2x.

Решение:

y’=x4/2-5x2/2+2

y’’=2x3-5x

y’’=x(2x2-5)

x1=0 или, критические точки второго рода.

Определяем знак второй производной на каждом промежутке.

x1=0 y1=0

x2=-1.6 y2=-0.9

x3=1.6 y3=0.9

Ответ: на промежутках (-¥;-1,6]È[0;1,6) – функция выпукла вверх, на промежутках [-1,6;0]È[1,6;+¥) – функция выпукла вниз,

точки перегиба (-1,6;-0,9), (0;0), (1,6;0,9).


План исследования функции:

1. Найдите область определения функции.

2. Исследуйте функцию на четность.

3. Найдите первую производную и критические точки.

4. Определите промежутки монотонности и найдите точки экстремума.

5. Найдите вторую производную и критические точки.

6. Определите направления выпуклости графика функции и найдите точки перегиба.

7. Найдите асимптоты графика.

8. Найдите точки пересечения графика функции с осями координат.

9. Постройте график.

Пример: Исследуйте функцию и постройте график функции .

1. ; D(f) симметричная относительно 0.

2. Функция нечетная, т.к. график симметричен относительно начала координат.

3. ,

Критические точки I рода: ,

х=2 и х=-2 также являются критическими точками, т.к. не осуществляет в этих точках, но эти точки не входят в область определения функции, поэтому должны быть исключены из рассмотрения.

 

3.

.

Функция возрастает и , убывает .

5. . Критические точки II рода: , х=о.

х=2 и х=-2 также являются критическими точками, т.к. не осуществляет в этих точках.

6.

Функция выпукла вверх , выпукла вниз ,

(0; 0) – точка перегиба.

7. Асимптоты графика:

а). значит, х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты.

б)..

Значит, у=х – наклонная асимптота.

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-17 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: