Гомотетия и подобие пространства

Параллельный перенос

• Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М', что выполняется векторное равенство

Параллельный перенос пространства также является движением.

Свойство параллельного переноса отображать любую фигуру на равную ей фигуру используется при решении многих стереометрических задач.

Поворот вокруг оси.
Осевая симметрия

Прежде чем приступать к определению и изучению еще одного вида движений пространства — повороту пространства вокруг оси на ориентированный угол, необходимо повторить поворот плоскости вокруг точки на ориентированный угол

Рис. 6

• Поворотом пространства вокруг ориентированной прямой l на угол φ называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка прямой l остается неподвижной и в каждой плоскости, перпендикулярной прямой l, индуцируется поворот ее на угол φ вокруг точки пересечения этой плоскости с прямой l.

Ориентированная прямая l называется осью вращения (осью поворота), а угол φ — углом поворота. Поворот вокруг оси l на угол φ обозначается . Если при повороте вокруг оси l на угол φ точка М отображается на точку М ', то пишут: (M) = M'.

• Поворот вокруг оси l на угол φ= 180° называется осевой симметрией пространства и обозначается S_l. Ось вращения называется осью симметрии. Таким образом, .

Осевая симметрия пространства может быть определена «конструктивно» с использованием понятия «пара симметричных точек относительно прямой». Если при симметрии относительно прямой l фигура F отображается на себя, то прямую l называют осью симметрии этой фигуры.

Следует обратить внимание учащихся на композиции зеркальной симметрии с параллельным переносом и поворотом вокруг оси, а также на композицию поворота вокруг оси и параллельного переноса. Композициями этих движений являются следующие три специальных («сложных») вида движений: а) «скользящая симметрия» — композиция симметрии S _α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис.10); б) зеркальный поворот — композиция поворота на угол φ вокруг оси а и симметрии S _α относительно плоскости α, перпендикулярной этой оси (рис. 11); в) винтовое движение — композиция поворота на угол φ вокруг оси а и переноса на вектор который параллелен этой оси (рис.12).

Рис. 10 Рис. 11

Рис. 12

Гомотетия и подобие пространства

• Гомотетией пространства с центром O и коэффициентом k ≠ 0 называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М', что

Гомотетию с центром O и коэффициентом k обозначают H^k₀

• Подобием пространства с коэффициентом k (k >0) называется такое преобразование пространства, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в k раз, то есть для любых двух точек А и В длина отрезка А'B' равна k | AB |, где А ' = Р_k (A) и B '= Р_k (В).Подобие пространства называют также преобразованием подобия. Если при этом подобии фигура F отображается на фигуру F ', то пишут Р_k (F)= F' и говорят, что фигура F' подобна фигуре F.

Свойства преобразований гомотетии и подобия пространства аналогичны свойствам гомотетии и подобия плоскости, поэтому изучение первых следует начинать с повторения вторых.

Учащиеся должны знать, что при подобном преобразовании пространства образом любой фигуры является фигура, имеющая такую же форму, что и данная фигура, но отличающаяся от нее лишь «своими размерами».

Можно ввести определение: «Фигура F₁ называется подобной фигуре F, если существует преобразование подобия пространства, отображающее фигуру F на фигуру F₁ ». Тогда для доказательства подобия фигуры F₁ фигуре F достаточно найти хотя бы одно преобразование подобия, которое фигуру F отображает на фигуру F₁..