В теории игр важнейшие проблемы, теоремы, леммы иллюстрируются оригинальными задачами типа «дележ агентами подарка из виски и джина», решения «раввина о наследстве вдов», «производство кукурузы в имении» и т.д. Но самой знаменитой стала «дилемма заключенных» (А. Таккер, 1955 г.), с помощью которой показывается, что доминирующая стратегия, диктуемая «принципом обеспеченного успеха» и нацеленная на наилучший результат независимо от стратегии партнера-конкурента, оказывается худшей по сравнению с кооперативным выбором.
Двое пойманы с краденными вещами и подозреваются в краже со взломом. Но для приговора за кражу со взломом (5 лет тюрьмы) нет пока оснований, т.к. они не признаются. Им можно вынести приговор за хранение краденного (полгода тюрьмы).
Их помещают в разные камеры, чтобы они не общались и шериф разъясняет им «права»: если оба признаются, то за кражу со взломом получат 2 года тюрьмы, если оба не признаются, то получать по полгода за хранение краденного. Если один признается, то не будет наказан, в то время как непризнающийся напарник получит 5 лет тюрьмы.
Доминирующая стратегия каждого из заключенных – признаться в надежде, что можно получить максимум два года при признании партнера или свободу при его непризнании. Но руководствуясь этой стратегией обеспечения успеха, оба они оказываются в худшем положении, чем при непризнании – тогда получили бы только по полгода.
В нормальном виде такая игра представляется в матричной форме 2×2: строки C1 и D1 – отказ и признание первого заключенного, а C2 и D2 – отказ и признание второго.
| Второй заключенный | |||
| признание | отказ | ||
| Первый заключенный | признание | 2; 2 | 0; 5 |
| отказ | 5; 0 | 0,5; 0,5 |
|
|
Имеем олигополистические фирмы А и В, которые выбирают из двух вариантов цен аналогичных товаров: или низкие цены по 10 долл., или высокие – 15 долл. Ежегодная прибыль (млн. долл.), ожидаемая каждой из фирм для себя и для соперника представлена в матрице нормально игры:
| Ценовая стратегия В | |||
| цена 10 долл. | цена 15 долл. | ||
| Ценовая стратегия А | цена 10 долл. | 100; 80 | 180; 30 |
| цена 15 долл. | 50; 170 | 150; 120 |
Видим, что фирма А предпочтет низкую цену в 10 долл. (100>50), фирма В также предпочитает низкую цену (80>30). Следовательно, доминантная стратегия при некооперативной игре каждой фирмы – выбор цены в 10 долл. Но если бы они заключили предварительное соглашение, вступили в коалицию, то выбрали бы высокую цену и получили дополнительно: А – 50 млн. долл., В – 40 млн. долл.
В заключении приведем примеры решения задач.
Пример 1. На рынке работают две фирмы, взаимодействующие по Курно. Средние издержки фирм не зависят от объема выпуска, равны и составляют 10. Рыночный спрос описывается формулой Р=100-5Q. Определить параметры рыночного равновесия по Курно. Найдите параметры равновесия Штакельберга, если одна из фирм становится лидером, снизив свои средние издержки до 8.
Решение: Вначале определим функции реакции фирм, максимизирующих свою прибыль и взаимодействующих по Курно. Прибыль первой из них зависит от выпуска как: π1(Q1)=[100-5(Q1+Q2)]Q1-10Q1, где Q1 – выпуск 1-й фирмы, Q2 – выпуск 2-й фирмы.
Оптимальный объем продаж фирмы 1 (Q1*) зависит от объема продаж 2-й фирмы (реакция на ее деятельность). Соответствующее уравнение получим из условия максимума функции π1(Q1), т.е. при 
или 100-10Q1*-5Q2-10=0, т.е. Q1*=9-0,5Q2.
|
|
|
Если фирма 1 становится штакельбергским лидером, то для нее зависимость прибыли от объема выпуска будет такой: π1(Q1 )=[100-5(Q1+(9-0,5Q1))]Q1-8Q1, и тогда оптимальный объем продаж фирмы 1: 55-5Q1*-8=0 и Q1*=9,4, Q2*=9,4/2=4,3, P*=100-5(9,4+4,3)=31,5, π1*(9,4)=220,9 и π21=92,45.
Лидер, имеющий преимущество в издержках и преимущество «первого хода», добивается увеличения прибыли за счет сокращения прибыли фирмы 2.
Пример 2. На рынке действуют две фирмы, объемы продаж которых стабильны и они делят между собой общую сумму прибыли А. Компании должны принять решение – рекламировать или не рекламировать свою продукцию. Реклама не влияет на общий спрос, а только изменяет его распределение между фирмами. Если обе фирмы выбирают одинаковую стратегию (рекламировать или нет), то они делят рынок и прибыль пополам. Если одна компания рекламирует свою продукцию, а другая – нет, то первая получит 70% продаж и прибыли, а вторая – только 30%. Издержки на рекламу составляют С. Напишите нормальную (матричную) форму статичной игры и определите равновесие Нэша при А=100 и С=10.
Решение: нормальная форма игры отображается матрицей:
| Фирма 2 | |||
| Фирма 1 | Рекламировать продукцию | Не рекламировать продукцию | |
| Рекламировать продукцию | 0,5А-С; 0,5А-С | 0,7А-С; 0,3А | |
| Не рекламировать продукцию | 0,3А; 0,7А-С | 0,5А; 0,5А |
|
|
Видно, если обе фирмы не рекламируют продукцию, их прибыль больше, чем в случае, когда обе фирмы ее рекламируют.
Если доминирующей стратегией для обеих фирм в их некооперативном соперничестве станет стратегия «рекламировать товар», то должны выполняться условия:
0,5А-С> 0,3А;
0,7А-С>0,5А;
Сумма расходов на рекламу должна быть меньше, чем 20% прибыли рынка.
При А=100 и С=10 матрица прибыли приобретает вид:
| Фирма 2 | |||
| Фирма 1 | Рекламировать продукцию | Не рекламировать продукцию | |
| Рекламировать продукцию | 40; 40 | 60; 30 | |
| Не рекламировать продукцию | 30; 60 | 50; 50 |
Равновесие Нэша в неповторяющейся игре – «рекламировать товар»
Пример 3. Отраслевой спрос задан функцией: Q=110-Р, затраты производства ТС=10Q. Найти параметры равновесия Нэша, когда в отрасли функционируют две и четыре фирмы.
Допустим, что предложение монополизировано (имеется одна фирма).
Тогда: 110-2Q=10 →Q*=50 и Р*=60.
Прибыль π=60*50-10*50=2500.
Теперь монополия разделена на две фирмы, максимизирующие прибыль:
Q1=Q2=25; P=60 π1=π2=1250.
Каждая из фирм может повысить свою прибыль за счет увеличения выпуска. Так, если Q1=26, а Q2=25, P=59 и π1=1274, а π2=1225. В ответ на это фирма 2 тоже может увеличить выпуск до Q=26. Тогда Р=58, π1=1278, π2=1248. Последующие шаги приведены в табл. 6.1:
Таблица 6.1. Установление равновесия на олигополистическом рынке по Нэшу
| Номер шага | Q1 | Q2 | P | π1 | π2 |
| … | … | … | … | … | … |
С 17 шага ни у одной из фирм нет стимула к дальнейшему увеличению выпуска, так как это сокращает абсолютную величину прибыли, т.е. при цене Р=44 устанавливается равновесие Нэша.
Если в этой отрасли 4 фирмы, то аналогичные шаги дадут следующий результат (табл. 6.2):
Таблица 6.2. Установление равновесия на олигополистическом рынке по Нэшу
| Номер шага | Q1 | Q2 | Q3 | Q4 | P | π1 | π2 | Π3 | π4 |
| … | … | … | … | … | … | ||||
Равновесие Нэша установится на 37 шаге при Q1=Q2=Q3=Q4=20 и цене равновесия Р=30.
Рассмотрим пример. Известна функция затрат предприятия-монополиста: ТС=30+20Q и функция спроса на продукцию монополиста на двух сегментах рынка: Р1=40-2∙Q1, P2=80-10∙Q2. Монополия проводит ценовую дискриминацию III рода. Определить объем продаж и цены на каждом из двух сегментов, максимизирующие прибыль монополии.
Решение. Условие, обеспечивающее максимум прибыли монополии, проводящей ценовую дискриминацию, – это равенство предельной выручки на каждом сегмента рынка предельным затратам на выпуск продукции:
MR1(Q1)=MR2(Q2)=MC(Q1+Q2).
Находим функции общей выручки на каждом сегменте:
TR1=Р1∙Q1=(40-2∙Q1)∙Q1=40∙Q1-2∙Q12;
TR2=Р2∙Q2=(80-10∙Q2)∙Q2=80∙Q2-10∙Q22.
Определим функции предельной выручки для каждого сегмента рынка:
MR1(Q1)=40-4∙Q1;
MR2(Q2)=80-20∙Q2.
Находим величину предельных затрат: MC= 
Определяем объем продаж на каждом сегменте:
40-4∙Q1=20, откуда Q1=5;
80-20∙Q2=20, откуда Q2=3.
Подставляя значения Q1 и Q2 в функцию спроса, находим цены, устанавливаемые монополией на каждом сегменте:
P1=40-2∙5=30;
P2=80-10∙3=50.
Вопросы для контроля и задания
1. Дана функция спроса и функция общих затрат монополиста: Р=50-0,5∙Q, TC=10+4∙Q+6∙Q2. Определить максимальную прибыль монополиста, соответствующие цену и объем продаж.
2. Функция спроса на продукцию монополии имеет вид: Q= 
, а функция общих затрат: ТС=7+0,25∙Q. Определить оптимальный объем выпуска и цену для монополии. При каком выпуске она несет убытки?
3. Функция затрат монополии: ТС=60+20Q и функция спроса на двух сегментах рынка: Р1=60-Q1, P2=50-Q2. Определить объем продаж и цены, если монополист проводит ценовую дискриминацию III рода на каждом из двух сегментов. Какую прибыль получит монополист?
4. Дана функция спроса и функция общих затрат монополиста: Q=180-2∙P, TC=2∙Q2+90. Определить объем продаж и цену, максимизирующие прибыль монополии. Определить объем выпуска, если монополист получит возможность применять совершенную ценовую дискриминацию.
5. По рекламным проспектам, объявлениям в интернете, журналах найдите конкретные примеры ценовой дискриминации.