1.Значение и место многогранников в стереометрии. Тема «Многогранники» одна из основных в традиционном курсе школьной геометрии. Они составляют, можно сказать, центральный предмет стереометрии. Центральная роль многогранников определяется прежде всего тем, что многие результаты, относящиеся к другим телам, получаются исходя из соответствующих результатов для многогранников. Кроме того, многогранники сами по себе представляют чрезвычайно содержательный предмет исследования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойствами, специально к ним относящимися теоремами и задачами. Многогранникам должно быть уделено в школьном курсе больше внимания еще и потому, что они дают особенно богатый материал для развития пространственных представлений, для развития того соединения живого пространственного воображения со строгой логикой, которое составляет сущность геометрии. Более того, использование многогранников с самого начала изучения стереометрии служит различным дидактическим целям. На многогранниках удобно демонстрировать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, показывать применение признаков параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве. Иллюстрация первых теорем стереометрии на конкретных моделях повышает интерес учащихся к предмету. Также одной из основных задач обучения математики является развитие у учащихся абстрактного мышления. Этой цели в значительной мере способствует применение наглядных пособий, причем не только в младших классах, но и в старших. Широкие возможности для реализации этой цели предоставляет тема «Многогранники», в частности, самостоятельное изготовление учениками наглядных пособий. В процессе изготовления моделей многогранников, кроме теоретических знаний и навыков, ученики закрепляют сформировавшиеся новые понятия при помощи чертежа и фактического решения задач на построение. При самостоятельном изготовлении моделей образ создается по частям, в силу этого с ними можно производить различные манипуляции. При этом все их свойства и особенности легко познаются и прочно закрепляются в памяти учащихся.
2. Подходы к определению многогранников. Изучение темы начинается с введения понятия многогранника. Существуют различные трактовки многогранника: «каркас», поверхность, тело. Выбор зависит и от того, какое определение давалось многоугольнику в планиметрии — как «части плоскости», как «плоской замкнутой ломаной линии». У Погорелова А.В.: «Многогранник – это такое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников»; У Атанасяна Л.С.: «Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело». Перед определением понятия многогранника следует продемонстрировать учащимся модели различных многогранников — призм, пирамид, правильных многогранников, провести анализ определения и продемонстрировать на моделях отдельные его части; только после этого дать определение многогранника. Затем привести примеры многогранников из окружающей жизни — из классной обстановки, строительной техники и т. д.
Дадим строгое определение многогранника, предложенное А.Д. Александровым.
Начнем с кратких предварительных определений; все они относятся как к пространству, так и к плоскости. Фигура – это то же, что множество точек. Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не принадлежащие ей. Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней. Множество всех граничных точек фигуры называется ее границей, а множество всех ее внутренних точек – внутренностью. Замкнутой областью называется множество точек, обладающее следующими свойствами: (1)Оно содержит внутренние точки, а внутренность его связна. (2)Оно содержит свою границу, и она совпадает с границей его внутренности. Данное определение относится либо к множеству точек на плоскости, либо – в пространстве. Замкнутая область в пространстве называется телом, а на плоскости – плоской замкнутой областью или просто замкнутой областью, если ясно, что речь идет о фигуре на плоскости. Из определения замкнутой области – как на плоскости, так и в пространстве – следует, что она состоит из внутренности и ее границы, которая оказывается так же границей самой замкнутой области. Поэтому замкнутую область можно определить несколько иначе. Замкнутая область – это множество точек, имеющее (не пустую) связную внутренность и состоящее из нее и ее границы. Оба данные выше определения равносильны. Граница замкнутой области всюду прилегает к ее внутренности. Граница тела называется его поверхностью. В определении замкнутой области не требуется, чтобы она была ограниченной – имела конечные размеры; допускаются и бесконечные области. Примерами в пространстве могут служить полупространство, двугранный угол, как множество, ограниченное двумя полуплоскостями, и др. Все пространство тоже является телом – это единственное тело, не имеющее границы. Часто в само понятие тела включают требование его ограниченности – конечности его размеров, но этого делать не будем, потому что в геометрии имеют дело и с бесконечными телами. Точно так же и в планиметрии встречаются и бесконечные области, например угол – часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.
Дадим теперь определение многоугольника и многогранника. Многоугольником называется замкнутая область конечных размеров, граница которой состоит из конечного числа отрезков. Многоугольник называется простым, если его граница представляет собой одну простую замкнутую ломаную. Многогранником называется тело конечных размеров, граница (поверхность) которого состоит из конечного числа многоугольников. Данное определение повторяет определение на основе наглядных представлений, однако теперь входящие в него понятия тела и его поверхности понимаются не только наглядно, но и с точки зрения данных им выше определений.
Выпуклый многогранник. Весьма важным этапом изучения этого раздела является формирование понятия выпуклого многогранника. Наряду с выпуклыми многогранниками учащиеся должны наблюдать и модели невыпуклых многогранников, только в результате такого сравнения можно выработать правильное представление о выпуклых многогранниках.Удачным считается подход, когда сразу дается определение выпуклого многогранника и для него определяются элементы, что сделать легче. Изучение свойств как выпуклых многоугольников, так и выпуклых многогранников занимает очень большое место в школьном курсе геометрии. Однако точный смысл понятия «выпуклый» в средней школе не раскрывается и причины, заставляющие требовать выпуклости рассматриваемых многоугольников и многогранников, нигде не объясняются.
Выпуклый многоугольник
а) Если он лежит в полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону.
б) Если каждые две его точки могут быть соединены в нем отрезком.
Выпуклый многогранник
а) Если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей.
б) Если каждые две его точки могут быть соединены в нем отрезком.
Виды многогранников.
И у ученика, и у учителя при изучении данной темы может возникнуть вполне естественный вопрос: почему столько внимания (и столько задач) посвящается всего лишь трем частным типам многогранников - параллелепипедам, правильным призмам и правильным пирамидам?Причин по крайней мере три:
1) эти многогранники нужны для дальнейшего построения теории (главным образом теории объемов);
2) они обладают симметрией, как многие формы природы и творения рук человеческих (скажем, архитектурные формы);
3) они обладают «хорошими свойствами», т. е. для них можно сформулировать и доказать достаточно простые теоремы. Последнее преимущество обусловлено свойствами симметричности; с другой стороны, как раз «хорошие свойства» и используются в теоретических целях. Все теоремы этой темы относятся к «избранным» многогранникам, причем совсем просто доказываются и наполовину имеют вычислительный характер (т. е. вид формул). Поэтому вторая задача учителя - добиться знания учащимися всехтеорем (с доказательствами). Третья по счету, но первоочередная для учителя задача - научить школьников решать задачи. Практически все задачи (упражнения) темы вычислительные, большую часть из них составляют простые или совсем простые задачи, и здесь перед учителем раскрываются большие возможности в продолжение линии обучения школьников эвристическим приемам решения задач. В задачах находят отражение и главные методологические идеи решения задач - аналогия стереометрии с планиметрией, сведение стереометрических задач к планиметрическим.