Тема 2. Элементы векторной алгебры
Теоретические вопросы
1. Понятие геометрического вектора, его характеристики. Виды векторов. Линейные операции над векторами в геометрической форме, их свойства.
2. Проекция вектора на вектор (на ось), ее свойства. Направляющие косинусы вектора.
3. Понятие линейной зависимости и независимости системы векторов. Основные критерии (свойства) линейной зависимости, независимости системы векторов.
4. Системы координат (на плоскости, в пространстве). Координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме.
5. Понятие векторного (линейного) пространства, базиса векторного пространства. Разложение вектора по базису. Понятие n-мерного векторного пространства.
6. Скалярное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.
7. Векторное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.
8. Смешанное произведение векторов: определение, свойства, вычисление в координатной форме.
Расчетные задания
Задание 12. Операции над векторами в геометрической форме
Варианты 1–10. Дан параллелепипед 
(
– параллелограмм). В нем обозначены 
, 
, 
, 
, 
– точка пересечения диагоналей , 
соответственно, 
– середины сторон 
, 
, 
, 
соответственно, 
– точка, такая, что 
. Выразить через 
следующие векторы.
12.1. 
.
12.2. 
.
12.3. 
.
12.4. 
.
12.5. 
.
12.6. 
.
12.7. 
.
12.8. 
.
12.9. 
.
12.10. 
.
12.11. В параллелограмме 
обозначены 
, 
( – точка пересечения диагоналей). Выразить через 
векторы: 
, 
(
, 
– середины сторон , соответственно).
12.12. В трапеции обозначены , , 
. Выразить через векторы 
(
– средняя линия трапеции, параллельная основанию 
, – середина основания ).
12.13. В параллелограмме обозначены 
, 
( – точка пересечения диагоналей). Выразить через : 
, , (, – середины сторон , соответственно).
12.14. В треугольнике 
проведены медианы (векторы) 
, 
, 
. Доказать, что 
.
12.15. В параллелограмме ABCD обозначены , 
. Выразить через : 1) векторы 
где – точка пересечения диагоналей параллелограмма; 2) вектор 
( – середина стороны ). Сделать схематический чертеж к задаче.
12.16. ABCDEF – правильный шестиугольник, обозначены 
, 
. Выразить через 
следующие векторы: 
, 
. Сделать схематический чертеж к задаче.
12.17. Дана равнобокая трапеция (
). В ней обозначены , , . Известно, что 
, 
, угол при вершине А равен 
. Найти: 1) длину вектора (указание: выразить вектор через и найти 
); 2) длины диагоналей 
трапеции.
12.18. В параллелограмме обозначены 
, 
( – точка пересечения диагоналей). Выразить через векторы 
, 
, 
(, – середины сторон , ).
12.19. В треугольнике проведены медианы 
, 
, 
. Обозначены векторы 
. Выразить через векторы 
, 
, 
, 
, 
, 
.
12.20. Пусть ABCDEF – правильный шестиугольник, причем 
, 
. Выразить через векторы 
, 
.
12.21. В параллелограмме обозначены 
, 
( – точка пересечения диагоналей). Выразить через векторы , , (, – середины сторон , ).
12.22. В треугольнике обозначены , . Выразить через следующие векторы: 
; 
(
– медиана треугольника ); 
( – середина медианы ); 
; 
.
12.23. В параллелограмме обозначены 
, 
. Выразить через векторы: 
, 
(, – середины сторон , ; – точка пересечения диагоналей).
12.24. В пирамиде 
обозначены , , 
. Выразить через следующие векторы: 1) ; 2) 
; 3) 
; 4) ; 5) ; 6) 
( – середина стороны ). Сделать рисунок к задаче.
12.25. В правильном шестиугольнике ABCDEF обозначены векторы 
, 
. Выразить через векторы 
, 
, 
, 
. Сделать схематический чертеж к задаче.
12.26. В треугольнике обозначены векторы 
, 
. Выразить через векторы: 
, 
(
, , – середины сторон 
, 
, соответственно).
12.27. В треугольнике проведены медианы , , 
. Обозначены векторы 
. Выразить через векторы 
, 
, 
, , , , 
, 
, 
( – точка пересечения медиан треугольника).
12.28. В треугольнике обозначены векторы , 
. Выразить через векторы: 
, 
(, , – середины сторон , , соответственно).
12.29. В пирамиде 
(основание прямоугольник) обозначены 
, , . Выразить через следующие векторы: 
; 
; 
; 
; ( – точка пересечения диагоналей ).
12.30. Пусть – произвольный четырехугольник. В нем обозначены 
, 
, 
. Найти векторы 
, где , , – середины , , соответственно.
Задание 13. Операции над векторами в бескоординатной форме (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов)
Даны некомпланарные векторы 
, причем 
,
угол 
, 
, 
. 
– пирамида. Найти:
1) длины сторон треугольника ;
2) угол (косинус) при вершине 
;
3) площадь параллелограмма, построенного на векторах 
;
4) объем пирамиды ;
5) длины векторов 
;
6) угол между диагоналями параллелограмма, построенного на .
Векторы 
| Векторы 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
| ||
| 
|
Задание 14. Операции над векторами в координатной форме (скалярное, векторное, смешанное произведения векторов)
14.1. Пусть 
, 
, 
. Вычислить: 1) скалярное произведение 
; 2) вектор 
; 3) смешанное произведение векторов , , ; 4) вектор 
.
14.2. Заданы вершины четырехугольника 
: 
, 
, 
, 
. Выяснить, перпендикулярны ли его диагонали. Найти величину угла 
, длины сторон четырехугольника, его площадь. Вычислить смешанное произведение векторов 
.
14.3. Найти координаты вектора 
, параллельного вектору 
при условии, что 
. Найти при этом условии координаты вектора 
.
14.4. Проверить, являются ли точки 
, 
, 
, 
вершинами трапеции или параллелограмма. Найти площадь и длины оснований сторон четырехугольника.
14.5. Пусть 
, 
, 
. Найти: 1) скалярное произведение 
; 2) 
; 3) смешанное произведение 
.
14.6. Пусть 
, 
, 
. Вычислить: 1) двумя
способами 
; 2) вектор 
; 3) объем
параллелепипеда, построенного на векторах 
.
14.7. Заданы векторы 
, 
, 
. Найти: 1) величину проекции вектора 
на ось, параллельную вектору 
; 2) координаты вектора 
и его длину; 3) смешанное произведение векторов ; 4) площадь треугольника, построенного на векторах 
, 
.
14.8. Треугольник 
задан координатами своих вершин 
, 
, 
. Найти: 1) площадь 
треугольника; 2) длины всех сторон, длину одной из медиан треугольника; 3) смешанное произведение векторов 
.
14.9. Заданы векторы 
, 
, 
. Найти: 1) величину проекции вектора 
на вектор 
; 2) координаты вектора 
, его длину; 3) смешанное произведение векторов 
;
4) площадь треугольника, построенного на векторах 
, 
; 5) скалярное произведение векторов 
, 
; 5) проверить на коллинеарность и ортогональность векторы 
и 
.
14.10. Даны векторы 
, 
, 
. Найти: 1) координаты вектора 
; 2) проекцию вектора 
на вектор 
; 3) вектор 
; 4) смешанное произведение векторов , , 
; 5) проверить, ортогональны ли векторы 
и 
.
14.11. Даны четыре точки 
, 
, 
, 
. 1. Выяснить, лежат ли они в одной плоскости. 2. Найти площадь треугольника . 3. Найти длины сторон и величины внутренних углов треугольника .
14.12. Заданы векторы 
, 
. Найти: 1) координаты вектора 
, коллинеарного вектору , удовлетворяющего условию 
; 2) вектор 
; 3) объем параллелепипеда, построенного на векторах 
.
14.13. Даны векторы 
, 
, 
. 1. Выяснить, компланарны ли эти векторы. 2. Найти вектор 
. 3. Найти смешанное произведение 
.
14.14. Даны векторы 
, 
, 
. 1. Найти вектор 
. 2. Установить, какова тройка векторов – правая или левая. 3. Найти скалярное произведение 
. 4. Найти угол между векторами 
, 
.
14.15. Даны четыре точки 
, 
, 
, 
. Найти: 1) косинус угла между векторами 
, 
и их длины; 2) скалярное произведение 
; 3) вектор 
; 4) смешанное произведение векторов 
.
14.16. Дан параллелограмм ABCD (
, 
, 
). Найти: 1) координаты вершины 
; 2) площадь параллелограмма; 3) длины сторон, диагоналей параллелограмма и угол между диагоналями.
14.17. При каком значении параметра 
векторы 
, 
перпендикулярны? Найти при этом значении параметра длину вектора 
.
14.18. Даны векторы 
, 
, 
. Найти: 1) угол между векторами 
, 
и их длины; 2) вектор 
; 3) смешанное произведение векторов , , .
14.19. Даны точки: 
, 
, 
, 
. 1. Показать, что эти четыре точки лежат в одной плоскости. 2. Найти площадь четырехугольника 
, длины его сторон и величины углов.
14.20. Даны векторы 
, 
, 
. Найти: 1) число 
; 2) вектор 
, его длину; 3) смешанное произведение векторов 
, 
, 
; 4) координаты вектора 
, удовлетворяющего условию 
.
14.21. Даны точки 
, 
, 
, 
. 1. Найти скалярное произведение векторов 
и 
. 2. Площадь треугольника 
. 3. Проверить, лежат ли данные четыре точки в одной плоскости. 4. Вычислить угол между векторами 
.
14.22. Даны векторы 
, , 
. Найти:
1) число 
; 2) вектор 
и его длину;
3) смешанное произведение векторов 
, , 
.
14.23. Найти: 1) координаты вектора 
, коллинеарного вектору 
при условии, что 
; 2) координаты вектора 
; 3) смешанное произведение векторов 
, , 
.
14.24. Даны четыре точки 
, 
, 
, 
.
1. Выяснить, лежат ли они в одной плоскости. 2. Найти площадь треугольника . 3. Найти длины сторон и величины внутренних углов треугольника.
14.25. Пусть 
, 
, 
. Вычислить: 1) скалярное произведение 
; 2) вектор 
; 3) смешанное произведение исходных векторов; 4) вектор 
.
14.26. Пусть 
, 
, 
. Вычислить: 1) скалярное произведение 
; 2) вектор 
; 3) смешанное произведение исходных векторов; 4) вектор 
.
14.27. Даны векторы 
, 
, 
. Найти:
1) координаты вектора 
, его длину; 2) проекцию 
на 
; 3) векторное произведение 
; 4) смешанное произведение исходных векторов 
, 
, 
. Проверить, ортогональны ли векторы 
, 
.
14.28. Даны векторы 
, 
, 
. 1. Найти вектор 
. 2. Установить, тройка векторов – правая или левая. 3. Найти число 
. 4. Угол между векторами 
.
14.29. Даны точки 
, 
, 
, 
.
1. Проверить, лежат ли данные точки в одной плоскости. 2. Найти площадь треугольника . 3. Найти угол между векторами 
.
14.30. Даны векторы , 
, 
. Найти: 1) число 
; 2) вектор 
, его длину; 3) смешанное произведение векторов , , .
Задание 15. Решить задачу с использованием СЛАУ.
15.1. Найти координаты вектора 
, если он перпендикулярен к вектору 
, удовлетворяет условиям 
, 
.
15.2. Вектор 
перпендикулярен к векторам 
, 
, а также известно, что 
. Найти координаты вектора .
15.3. Выяснить, образует ли базис система векторов 
: 
, 
, 
. Если система образует базис, то найти координаты вектора 
в этом базисе 
.
15.4. Выяснить, образует ли базис система векторов : 
, 
, 
. Если система образует базис, то найти координаты вектора 
в этом базисе.
15.5. Даны векторы 
, 
, 
. Найти вектор 
, удовлетворяющий условиям: 
, 
, 
.
15.6. Найти вектор 
, который удовлетворяет условиям 
, 
, 
, где 
, 
, 
.
15.7. Даны векторы