Производная равна нулю в точках экстремума. Ответ:425. Задание (№ 27485)

ЗАДАЧА В-8

1.Прототип задания 8 (№ 119972)

 

Прямая является касательной к графику функции . Найдите a.

 

Ре­ше­ние.

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции в точке тогда и толь­ко тогда, когда од­но­вре­мен­но и . В нашем слу­чае имеем:

 

Ис­ко­мое зна­че­ние а равно 0,125

 

Ответ: 0,125.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

По смыс­лу за­да­чи a ≠ 0, а зна­чит, гра­фик за­дан­ной функ­ции — па­ра­бо­ла. Ка­са­тель­ная к па­ра­бо­ле (а также и к ги­пер­бо­ле) имеет с ней един­ствен­ную общую точку. По­это­му не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы урав­не­ние имело един­ствен­но ре­ше­ние. Для этого дис­кри­ми­нант урав­не­ния дол­жен быть равен нулю, от­ку­да .

Ответ: 0,125

 

 

Ответ:a= 0,125

2. Прототип задания 8 (№ 119973)

 

Прямая является касательной к графику функции . Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

 

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

 

В нашем слу­чае имеем:

 

 

По усло­вию абс­цис­са точки ка­са­ния по­ло­жи­тель­на, по­это­му x =0,5, от­ку­да b =−33.

 

Ответ: −33.

 

3. Прототип задания 8 (№ 119974) Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции . Най­ди­те .

 

Ре­ше­ние.

Усло­вие ка­са­ния гра­фи­ка функ­ции и пря­мой задаётся си­сте­мой тре­бо­ва­ний:

 

 

В нашем слу­чае имеем:

 

 

Ответ: 7.

 

Прототип задания 8 (№ 119975)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

При t = 9 c имеем:

Ответ: 60

Прототип задания 8 (№ 119976)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

При t = 6 c имеем:

 

 

Ответ: 20.

Прототип задания 8 (№ 119977)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени с.

Решение.

Найдем закон изменения скорости:

При t = 3 c имеем:

 

Ответ: 59.

Прототип задания 8 (№ 119978)

 

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Берем производную от ,получаем
Приравниваем полученное уравнение к необходимой нам скорости,заданной в условии (3)
Получаем:

2t-13=3

2t-13+3=0

2t-10=0

2t= 10

t=10/2

t=5

Ответ = 5

Прототип задания 8 (№ 119979)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Берем производную от

Получаем:

Приравниваем полученное уравнение к необходимой нам скорости,заданной в условии

Ответ: 7

Прототип задания 8 (№ 317539)

На рисунке изображён график функции и восемь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?

 

Если функция возрастает, то производная положительна, если функция убывает, то производная отрицательна. Поэтому про­из­вод­ная данной функции положительна в точках x₁;x₂;x₅;x₆;x₇ => Ответ: в 5 точках.

 

Прототип задания 8 (№ 317540)

На рисунке изображён график функции и двенадцать точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Если функция возрастает, то производная положительна, если функция убывает, то производная отрицательна. Поэтому про­из­вод­ная данной функции отрицательна в точках x₄;x₅;x₆;x₇x₈;x₁₁;x₁₂ => Ответ: в 7 точках.

11. Прототип задания 8 (№ 317541)   На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено восемь точек: , , , , . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции ?

Чтобы определить промежуток возрастания функции по графику ее производной надо найти промежуток, на котором производная больше нуля То есть нам необходимо выделить все точки, которые лежат ВЫШЕ оси OX, а это x₄; x₅; x₆ => Ответ: 3

Прототип задания 8 (№ 317542)

На рисунке изображён график — производной функции . На оси абсцисс отмечено восемь точек: , , , , . Сколько из этих точек лежит на промежутках убывания функции ?

 

Чтобы определить промежуток убывания функции по графику ее производной, надо найти промежуток, на котором производная меньше нуля То есть, нам необходимо выделить все точки, которые лежат НИЖЕ оси OX, а это x₁;x₂;x₃;x₄;x₈ => Ответ: 5

Задание 8 (№ 27498)

На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Ход решения:

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на (график производной лежит ниже оси ОХ), то есть ин­тер­ва­лу (−2,5; 6,5). Дан­ный ин­тер­вал со­дер­жит сле­ду­ю­щие целые точки: –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Чтобы найти ответ на задание необходимо сложить эти точки.

-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6=18

Ответ: 18.

 

Задание 8 (№ 27499)

На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ход решения:

Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на(график производной лежит выше оси ОХ),, то есть ин­тер­ва­лам (−11; −10), (−7; −1), (2; 3). Находим наибольший из них. Наибольшему соответствует интервал (-7:-1),длина которого 6.

Ответ: 6

 

 

15.Задание 8 (№ 27500)

На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки убывания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

ход решения:

Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции f(x) со­от­вет­ству­ют про­ме­жут­кам, на ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции от­ри­ца­тель­на, то есть ин­тер­ва­лам (−1; 5) дли­ной 6 и (7; 11) дли­ной 4. Длина наи­боль­ше­го из них 6.

Ответ: 6

 

 

Задание 8 (№ 27501)

На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Ход решения: Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой y = −2 x − 11 или сов­па­да­ет с ней, их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны –2. Теперь нам необходимо найти ко­ли­че­ство точек, в ко­то­рых y' (x ₀) = −2, это со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству точек пе­ре­се­че­ния гра­фи­ка про­из­вод­ной с пря­мой y = −2. На дан­ном ин­тер­ва­ле таких точек 5.

Ответ: 5

17. Задание 8 (№ 27499)

На рисунке изображен график — производной функции , определенной на интервале . Найдите точку экстремума функции , принадлежащую отрезку .

Ход решения:

Если про­из­вод­ная в не­ко­то­рой точке равна нулю, а в ее окрест­но­сти ме­ня­ет знак, то это точка экс­тре­му­ма. На от­рез­ке [–2; 6] гра­фик про­из­вод­ной пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с плюса на минус. Значит, точка 4 яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма.

Ответ: 4

Задание 8 (№ 27503)

На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Ход решения:

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс. Строим тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол на­кло­на ка­са­тель­ной к оси абс­цисс будет равен тангенсу угла ACB:

Y’(X0) = tg ACB= = = 2

Ответ: 2

 

 

19. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс.   f’(x)=tgA=2:8=1:4=0,25

20. На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс.   f’(x)=tgA=-tgB=-(8:4)=-2 знак минус возникает, так как угол А тупой

 

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной, ко­то­рый в свою оче­редь равен тан­ген­су угла на­кло­на дан­ной ка­са­тель­ной к оси абс­цисс.   f’(x)=tgA=-tgB=-(2:8)=-(1:4)=-0,25 знак минус возникает, так как угол А тупой

21.На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

 

 

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на пря­мой или сов­па­да­ет с ней, она имеет уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент рав­ный 2 и Оста­лось найти, при каких про­из­вод­ная при­ни­ма­ет зна­че­ние 2. Ис­ко­мая точка .

22.На рисунке изображен график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

23.На рисунке изображен график — производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Зна­че­ние про­из­вод­ной в точке ка­са­ния равно уг­ло­во­му ко­эф­фи­ци­ен­ту ка­са­тель­ной. По­сколь­ку ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси абс­цисс или сов­па­да­ет с ней, она имеет вид , и её уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент равен 0. Сле­до­ва­тель­но, мы ищем точку, в ко­то­рой уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент, равен нулю, а зна­чит, и про­из­вод­ная равна нулю. Про­из­вод­ная равна нулю в той точке, в ко­то­рой её гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая точка .

24.На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Производная равна нулю в точках экстремума. Ответ:425. Задание (№ 27485)

Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

 

Необходимо найти X₁ точки с координатами (X₁;Y₁)

Касательная к функции параллельна , значит её формула

y=7x+n.

Производная квадратичной функции в точке X₁ равна коэффициэнту k при x в функции y=7х+n (то есть 7)

Берём производную и приравниваем её к семи.

2x+6=7

2х=1

x=0.5

X₁=0.5

 

Задание 8 (№ 27486)

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

 

Необходимо найти абсциссу точки (X₁;Y₁)

Производная кубической функции в точке X₁ равна коэффициэнту k при x в функции

y=-4х-11 (то есть -4)

Значит 3x²+14x+7=-4

3x²+14x+11=0

D=196-132=64=8*8

X₁=(-14+8)/6=-6/6=-1

X₂=(-14-8)/6=-22/6 –это значение не подходит по формату записи ответов в ЕГЭ

Подставляем X₁ в оба уравнения

y=-4*(-1)-11=4-11=-7

y= (-1)³+7*(-1)²+7*(-1)-6=-1+7-7-6=-7

Функции равны в точке X₁

Значит искомая нами абсцисса равна -1

 

Задание 8 (№ 27487)

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Производная положительна при возрастании функции

Выделим целые точки на оси х где функция возрастает

Это -2;-1;5;6. Всего 4 целых точки

Задание 8 (№ 27488)

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Производная положительна при убывании функции

Выделим целые точки на оси х, где функция убывает

Это точки -4;-3;-2;-1;0;1;3;4. Всего 8 целых точек

 

Задание 8 (№ 27489)

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

y=6 – прямая параллельная оси OX

Касательные к графику параллельны оси ОХ,когда они касаются точек экстремума (коэффициент k у прямой y=k*x+n должна быть равна нулю, и этот же коэффициент равен производной в этой точке, а при производной равной нулю точка-экстремум)

Посчитаем сколько точек экстремума у функции, это и есть наш ответ.

Таких точек 4, ответ: 4

30.(№ 27490)

 

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремумов функции .Суммой точек экстремума называется сумма абсцисс, координат точек экстремума

У нас 7 точек

Складываем их абсциссы

1+2+4+7+9+10+11=44

Ответ:44

 

37. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.

 

Нам известно, что если функция возрастает, то производная положительна, а если функция убывает, то производная отрицательна. Отсюда можем сделать вывод, что точки -1 и 1 не подходят. f’(x)=k=tg α,следовательно, необходимо сравнить угол наклона к оси ОХ в точке -2 и 2. Построив касательные, увидим, что в точке -2 угол больше, значит, в этой точке производная принимает наибольшее значение.

Ответ: -2

38. На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Нам известно, что если функция возрастает, то производная положительна, а если функция убывает, то производная отрицательна. Делаем вывод, что точки -2 и 1 не подходят.. f’(x)=k=tg α,следовательно, необходимо сравнить тангенсы углов наклона к оси ОХ в точке -1 и 4. Построив касательные, увидим, что в точке 4 угол меньше, значит, в этой точке производная принимает наименьшее значение

 

.

Ответ: 4

 

 

39. На рисунке изображён график функции y=F(x) — одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (-3;5). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке [-2;4].

F(x) первообразная для f’(x), если F’(x) = f(x). По условию f(x)=0 => F’(x) =0. А это значит, что надо посмотреть количество экстремумов данной функции на заданном интервале.

Ответ: 10

40. На рисунке изображён график функции y=f(x) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8)-F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Для данной задачи нам необходимо будет вычислить площадь фигура на рисунке на указанном интервале. Получается, что площадь трапеции будет равна:

Ответ: 7

41. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Для решения данной задачи необходимо знать, что определенный интеграл равен площади закрашенной фигуры.

 

 

 

 

42. На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик не­ко­то­рой функ­ции . Функ­ция — одна из пер­во­об­раз­ных функ­ции . Най­ди­те пло­щадь за­кра­шен­ной фи­гу­ры.

 

Для решения данной задачи необходимо знать, что определенный интеграл равен площади закрашенной фигуры. 4

Ответ:4