Свойства медиан треугольника

Теорема.

Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как высоты.

14.. Св-ва площадей мн-ков:

-Равные мн-ки имеют равные площади

-Если мн-ник составлен из нескольких мн-ков, то его полщадь будет равна сумме площадей этих мн-ков.

-Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Теорема:

Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Геометрия. Основные вопросы.

15. Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Д-во:

Обратная теорема Пифагора:

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный.

16.

Дк-во:

Доказательство

Пусть ABC – данный треугольник. Дополним его до параллелограмма ABCD, как показано на рисунке.

Площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников ABC и CDA. Так как эти треугольники равны, то площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC. Высота параллелограмма, соответствующая стороне CB, равна высоте треугольника, проведенной к стороне CB. Отсюда следует утверждение теоремы, и Теорема доказана.

17. Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Первый признак подобия треугольников:

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.

То есть ∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁ <=> ∠A=∠A₁, ∠B=∠B₁.

Дк-во:

18.. Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Второй признак подобия треугольников:

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Дк-во:

Доказательство

Пусть у треугольников ABC и и Докажем, что Переведем треугольник A ₁ B ₁ C ₁гомотетией f с любым центром и коэффициентом k в треугольник A ₂ B ₂ C ₂. Δ A ₂ B ₂ C ₂ = Δ ABC. Действительно, Треугольники и ABC равны по первому признаку равенства треугольников (теорема 4.1). По теореме 12.6 существует движение g, переводящее Δ A ₂ B ₂ C ₂ в Δ ABC. Выполнив сначала гомотетию f, а затем движение g, получим подобие g ○ f, которое переводит Δ A ₁ B ₁ C ₁ в Δ ABC. Следовательно, Теорема доказана.

19.. Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Третий признак подобия треугольников:

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Дк-во:

20. Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, и стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.

Теорема об отношении площадей подобных треугольников:

Отношение площадей 2 подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Дк-во:

Пусть треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, причем коэффициент подобия равен k O, обозначим буквами S и S₁ площади этих треугольников. Так как A=A₁, то

S/S₁ = AB*AC/A₁B₁*A₁C₁

(по тереме об отношении площадей треугольника). По формулам имеем: АВ/А₁В₁ = k, AC/A₁C₁ = k

поэтому

S/S₁ = k²

Теорема доказана.

21. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

-Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.

-Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называетсяцентром тяжести треугольника.

-Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника

Замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника – это неформальное название для точек пересечения его медиан, высот, центров вписанной иописанной окружностей, а также ряда других точек.

22. Биссектрисаугла - это луч с началом в вершине угла, делящий угол на две равные части

Теорема о биссектрисе угла:

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.

Обратная теорема:

Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Следствие:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Д-во:

1)Возьмем произвольную точку М на биссектрисе угла ВАС, проведем перпендикуляры MK и ML к прямым АВ и АС и докажем, что MK=ML. Рассмотрим прямоугольные треугольники АМК и AML. Они равны по гипотенузе и острому углу(АМ-общая гипотенуза, угол1=углу2 по условию). Следовательно MK=ML

2) Пусть точка М лежит внутри угла ВАС и равноудалена от его сторон АВ и АС. Докажем, что луч АМ- биссектриса угла ВАС. Проведем перпендикуляры МК и ML к прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники равны АМК и АМL равны по гипотенузе и катету(АМ- общая гипотенуза, MK=ML по усовию). Следовательно, угол 1 = углу 2. Это и означает, то что луч АМ является биссектрисой угла ВАС. Теорема доказана.

Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.

23. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема:

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка

Обратная:

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Дк-во:

Пусть прямая m- серединный перпендикуляр к отрезку АВБ точка О- середина этого отрезка.

1)Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что АМ=ВМ. Если точка М совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О- середина отрезка АВ. Пусть М и О- различные точки. Прямоугольные треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум катетам(ОА=ОВ, ОМ- общий катет), поэтому АМ=ВМ.

2) Рассмотри произвольную точку Р, равноудаленную от концов отрезка АВ, и докажем, что точка Р лежит на прямой m. Если Р- точка прямой АВ, то она совпадает с серединой О отрезка АВ и поэтому лежит на прямой m. Если же точка Р не лежит на прямой АВ, то треугольник АРВ равнобедренный, так как АР=ВР. Отрезок РО- медиана этого треугольника, а значит и высота. Следовательно: РО параллельно АВ, поэтому прямые ОР и m совпадают, т.е. Р- точка прямой m. Теорема доказана.

Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.

24. Высота треугольника — перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону

Теорема:

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Дк-во:

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА1, ВВ1 и СС1, содержащие его высоты, пересекаются в одной точке. Проведем через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Полчим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А2С и АВ=СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С =СВ2. Аналогично С2А=АВ2 и С2В=ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1перпендикулярноА2В2, АА1перпендикулярноВ2С2 и ВВ1перпендикулярноА2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательная точка- это точка пересечения биссектрис, высот и медиан.

Теорема Чевы.

Три чевианы треугольника проходят через одну точку или параллельны тогда и только тогда, когда

Пусть лежат на прямых треугольника . Прямые параллельны или пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

26. Если точки и лежат соответственно на сторонах и треугольника или на их продолжениях^[1], то они коллинеарны тогда и только тогда, когда

где , и обозначают отношения направленных отрезков.

27. Биссектриса угла треугольника — этолуч с началом в вершине угла треугольника, делящий угол на два равных угла

Теорема о биссектрисе:

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Дк-во:

Дано: , — биссектриса угла .
Требуется доказать: .

Доказательство:

Проведем до пересечения с продолжением стороны . Стороны угла пересечены параллельными прямыми. Составим пропорцию: . Сравнивая эту пропорцию с той, которую нужно доказать, замечаем, что они отличаются только отрезками и . Рассмотрим эти отрезки. Они входят в , в котором (как соответственные при и секущей ) и . Но ( — биссектриса), отсюда . Следовательно, . Заменим в полученной пропорции на : . Теорема доказана

Доказана.

27(2).. Пропорциональные отрезки — отрезки, для длин которых выполняется пропорция.

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин, то есть

Обобщенная теорема Фалеса:

Если параллельные прямые, пересекающиеся двумя данными прямыми, пересекаются с первой прямой в точках А, В, С, а со второй прямой соответственно в точках А₁, В₁, С₁, то

Дк-во:

Проведем через точку А прямую АС1, параллельную прямой ВD(С1- точка пересечения этой прямой с прямой СD). Тогда треугольник ОАВ подобен треугольнику АСС1 по первому признаку подобия треугольников (угол О= углу САС1, угол ОАВ=углу С). Следовательно, ОА/АС=ОВ/АС1. Так как АС1=ВD, то ОА/ОВ=АС/ВD. Теорема доказана.

28. Отрезок АВ является средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АС и ВС, если:

Теорема:

Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное или среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу

Дк-во:

Пусть прямой угол в треугольнике-С, катеты АС и ВС. Проведём из вершины прямого угла высоту СМ. Проекции катетов МА и МВ. Рассмотрим треугольники АВС И АМС. Они подобны по двум углам: оба прямые и угол А общий. Запишем отношение сторон АВ/АС= ВС/МС= АС/МА Имеем АС в квадрате= АМ*АВ. (х - есть среднее пропорциональное между а и в если выполняется а/х= х/в х^2=а*в.)
Аналогично для треугольников АВС и ВМС ВС^2=АВ*ВМ.

Теорема:

Высота в прямоугольном треугольнике есть среднее пропорциональное между отрезками гипотенузы.

Дк-во:

Рассмотрим треугольники АСМ и ВСМ. Они оба подобны треугольнику АВС, а значит подобны между собой Запишем отношения сторон ВМ/СМ=СМ/АМ СМ^2=АМ*ВМ.

29. Синусом острого прямого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sinA= BC/AB

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cosA= AC/AB

Тангенсом острого прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

tgA=BC/AC

Основное тригонометрическое тождество:

Дк-во:

Пусть треугольник АВС прямоугольный (АВ-гипотенуза). sinA=ВС/АВ (1) cosA=AC/AB (2). Теперь докажем справедливость основного тригонометрического тождества: . Из формул (1) и (2) получаем: sin^2A+cos^2A=ВС^2/AB^2+AC^2/AB^2=BC^2+AC^2/AB^2. По теореме Пифагора BC^2+AC^2=AB^2, .

30.

31. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Дк-во:

Пусть р-касательная к окружности с центром О. А- точка касания. Докажем, что касательная р перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р- касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна радиусу.

32.. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Теорема:

Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

Дк-во:

Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности. Теорема доказана.

33. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дк-во:

Пусть /_ АВС- вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС. Докажем, что /_ АВС= ½ дуги АС. Решение. Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС. В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому /_ АОС=дугеАС. Так как угол АОС- внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы ОВА и ВАО при основании р/б треугольника равны, то /_АОС= /_ОВА+/_ВАО=2/_ОВА. Отсюда следует, что 2/_ОВА=дугеАС или /_АВС=/_ОВА=1/2дугиАС. Теорема доказана.

34. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Следствия из теоремы о вписанном угле:

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

2) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность(диаметр)- прямой.

35. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема о произведении отрезков двух хорд:

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Дк-во:

Пусть хорды АВ и СD пересекаются в точке Е. Докажем, что АЕ*ВЕ=СЕ*DE. Рассмотрим треугольники АDE и СВЕ. В этих треугольниках углы ЕАD и ЕСВ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу ВD, а углы АЕD и СЕВ равны как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников, треугольник ADE~ треугольнику СВЕ. Отсюда следует, что АЕ/СЕ=DE/BE, или АЕ*ВЕ=СЕ*DE. Теорема доказана.

36.Теорема:

Медиана проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине гипотенузе.

37. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема:

Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть

Дк-во:

38. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема:

Если из одной точки вне окружности проведены две секущие, то произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей.

Дк-во:

39. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральнм углом.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Теорема:

Если АМ-касательная к окружности, а АВ- хорда окружности, то угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенный внутри угла МАВ.

Дк-во: