Простейшие тригонометрические уравнения
План урока-лекции:
1. Вывод формул корней уравнения
а) sinx =a,
б) cosx= a,
в) tgx= a,
г) ctgx= а.
Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.
1.Уравнения вида sinx = a.
Решим уравнение sinx = a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у= а.
1) Если а > 1 и а < -1, то уравнение sinх= а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.
2) Если -1< а < 1, то по рисунку видно, что прямая у= а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx= a имеет бесконечно много решений.
Так как период синуса равен 2 
, то для решения уравнения sinx= a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2 .
Решением уравнения на [- /2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a, а на [ /2; 3 /2] х= -arcsin a. Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения
x=arcsin a+ 2 n
х= -arcsin a +2 n, n 
Z.
Обе серии решений можно объединить
х= (-1)narcsin a + n, n 
Z.
В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:
Если а =-1, то sin x =-1, х=- /2+2 n
Если а =1, то sin x =1, x = /2+2 n
Если а= 0, то sin x =0. x = n,
Пример: Решить уравнение sinx =1/2.
Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2 n
х= -arcsin a+2 n
Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений
x= /6+ 2 n
х= 5 /6+2 n
или по общей формуле
х= (-1)narcsin 1/2+ n,
х= (-1)n /6+ n,
2. Уравнения вида cosx= a.
Решим уравнение cosx= a также графически, построив графики функций у= cosx и у= а.
1) Если а<-1 и а> 1, то уравнение cosx= a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.
2) Если -1< a < 1, то уравнение cosx= a имеет бесконечное множество решений.
Найдем все решения cosx= a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2 .
На [0; ] решением уравнения по определению арккосинуса будет х=arcos a. Учитывая четность функции косинус решением уравнения на [- ;0] будет х=-arcos a.
Таким образом решения уравнения cosx= a х= + arcos a+ 2 n,
В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:
Если а =-1, то cosx =-1, x =- /2+2 n
Если а =1, то cosx =1, x = 2 n,
Если а=0, то cosx =0. x = /2+ n
Пример: Решить уравнение cos x =1/2,
Составим формулы решений x=arccos 1/2+ 2 n
Вычислим значение arccos1/2.
Подставим найденное значение в формулы решений
X= + /3 + 2 n, n Z.
2. Уравнения вида tgx= a.
Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения tgx= a, достаточно найти все решения на любом промежутке длины . По определению арктангенса решение уравнения на (- /2; /2) есть arctg a. Учитывая период функции все решения уравнения можно записать в виде
х= arctg a + n, n Z.
Пример: Решите уравнение tg x = 3/3
Составим формулу для решения х= arctg 3/3 + n, n Z.
Вычислим значение арктангенса arctg 3/3= /6, тогда
х= /6+ n, n Z.
Вывод формулы для решения уравнения сtgx=a можно предоставить учащимся.
Пример.
Решить уравнение ctg х = 1.
х = arcсtg 1 + n, n Z,
х = /4 + n, n Z.
В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:
«Решение тригонометрических уравнений».
| уравнение | формулы корней |
| sinx = a | х= (-1)narcsin a + n, n Z.
|
| cosx= a | х= + arcos a+ 2 n, n Z.
|
| tgx= a | х= arctg a + n, n Z.
|
| сtgx= a | х= arcсtg a + n, n Z.
|
Упражнения для закрепления изученного материала.
1. Решите уравнения:
а) sin x = 0; д) sin x = 2/2; з) sin x = 2;
б) cos x = 2/2; е) cos x = -1/2; и) cos x = 1;
г) tg x = 3; ж) ctg x = -1; к) tg x = 1/ 3.
3. Решите уравнения:
а) sin 3x = 0; д) 2cos x = 1;
б) cos x/2 =1/2; е) 3 tg 3x =1;
г) sin x/4 = 1; ж) 2cos(2x+ /5) = 3.
При решении данных уравнений полезно записать правила для решения уравнений вида sin в x = a, и с sin в x = a, |a|< 1.
| sin в x = a, |a|< 1.
в х= (-1)n arcsin a + n, n Z,
х= (-1)n 1/ в arcsin a + n/ в, n Z.
| cos в x= a, |a|< 1.
в x= + arcos a+ 2 n, n Z,
х= + 1/ в arcos a+ 2 n/ в, n Z,
|
| с sin в x = a, |a|< 1.
sin в x = a/с,
в х= (-1)n arcsin a/с + n, n Z,
х= (-1)n 1/ в arcsin a/с+ n/ в, n Z.
| с cos в x = a, |a|< 1.
cos в x = a /с/.
X= + 1/ в arcos a/с+ 2 n/ в.
|